Considérons d’abord l’équation

îT— 1=0 [3].

Nous avons démontré dans notre Trigonométrie!, 46) que m étant un nombre entier positif, on avait la formule

(cos tp -}- sin sp)" = cos msp -f- \ r—ï sin m? :

d’où l’on voit que, si l’on peut déterminer l'arc ? de manière que le deuxième membre de cette équation se réduise à 1 , la valeur correspondante que prendra la fonction (cos ç-| -\J — 1 sin <fi) sera une racine de l’équation proposée.

Or, il est clair que la quantité (cos sin m< p) ne se

réduira à -|- 1, qu'autant que l'on aura simultanément

cos »«® = -(- 1 et sin «ne p = 0,

d’où l’on tire

rntf—ikn, d’où

donc, la formule générale des racines de l'équation [3] est

2Anr . , — - . 2 An

y = cos k J — 1 sin — [71.

Comme k représente un nombre entier quelconque , il semblerait résulter de cette formule que l'équation [3] admet une infinité de racines, mais il est facile de voir qu’elle n'en a que m. En effet, il est d’abord visible qu’en faisant successivement

A=0, =1, =2, =3... =(m — 1), on aura m valeurs différentes pour y ; car, la plus grande des valeurs correspondantes que recevra ainsi 1 are — sera — — ,

laquelle est plus petite que 2n, et il n'y a pas dans la circonfé-

642 TUB0B1K DBS ÉQUATIONS- BISOMBS.

rence deux arcs qui aient à ia fois le même sinus et le même cosinus, ce qui serait nécessaire pour que deux valeurs de y fussent égales. Je dis de plus que, pour toute valeur donnée à k autre que l’une des précédentes, on retombera sur une valeur de y correspondante à une valeur positive de k moindre que m. Posons, en effet, A=mi-j-A, i étant un nombre entier quelconque positif ou négatif, et h un nombre entier positif moindre que m (748*), il viendra

y = «os (‘if* + ^ sin ^2 ne +

Ihi: . , — - . 2Ajs

= cos lsm —

valeur qui est celle même que l’ou a trouvée en faisant A=A<«*.

La formule [7] donne donc seulement les m racines de l’équation [3],

758. Si l’on observe que, d’après le Théorème de Moivrb, la formule [7] revient à

on en conclura que, comme on obtient toutes les racines de la proposée, en donnant successivement à A les valeurs 1 , 2 , 3, . . . m, les racines de cette équation sont toutes les puissances successives, depuis la première jusqu' à la m“*, de la racine

cos — h y — Ism— , m m

correspondante à k = l. - Examinons si une autre racine de l’équation [3],

2mr . , — t . 2 nie

y= cos h y — 1 an — ,

jouit de la même propriété. Élevons, pour cela, cette racine à la p*' et à la qm' puissance , p et q étant deux nombres moindres

THÉORIE DES ÈQliATlONS-UINOHBS . 643

que et cherchons si ces deux puissances peuvent être

égales; car, si elles ne le sont pas, nous devrons conclura qu’en élevant la racine dont i} s’agit à toutes les puissances 1, 2, 3, 4,... m, on obtiendra m résultats différents, et comme chacun d’eux est une racine de l'équation [3], ils seront les m racines de cette équation. Si au contraire la pm' et la qm‘ puissance de

2 nr. . — 7 . 2»it

cos 1- O — 1 sm —

sont égales, on n’obtiendra pas m valeurs différentes en élevant cette racine à toutes les puissances successives , depuis la première jusqu'à la et par conséquent on ne trouvera pas ainsi toutes les racines de la proposée. Posons donc

/ 2mr , — - . 2nTc\r / 2mr , — - . 2n*\«

(cos hv— l8,n — — cos ko— lsin — ) :

cette équation revient à ( Trig“ , 46)

%npv , - — 7 . 2»pic 2n«jc . . — - ; 2 van cos— — 4- v— lsin— — =cos — — + y7— lsin — — , vi m m m

laquelle se partage dans les deux suivantes

2 np-K 2noit . . 2nprc . 2«»it

cos — — =cos — — et sm — — =: sin — — .

Or, pour que deux arcs aient à la fois le même sinus et le même cosinus, il faut et il suffit que leur différence soit un multiple de la circonférence (Trigi,t 45 et 17) : donc

ou bien

D’où l’on voit que si » et m sont deux nombres premiers entre eux, cette condition ne pourra jamais être remplie, puisque p et q sont deux nombres entiers inégaux et moindres quewi-j-1- Mais si m et n ont un facteur commun , il ne sera plus néces-

2n/ftt 2ngit„iV m m . ’

saire que m divise le facteur (p — q) , et il pourra très-bien se faire que l'on puisse assigner hp et à q des valeurs telles que

frf n g)

' ot' ™ ^ un notn^re *nt‘er- Si, par exemple, on avait *»==6

et n=4, on n’aurait qu’à fairep = 5 et q = 2.

Donc, quelle que soit la racine que l’on considère, si on l’élève successivement à toutes les puissances depuis la première jusqu’à la m"*, on reproduira toutes les racines de la proposée , pourvu

•1 sin

> / 2tt

que cette racine soit une puissance de (cos— -f-y/—

dont l’exposant soit premier avec m.

Ce théorème s’accorde avec celui que nous avons démontré au nn 748, puisque nous y avons supposé que m était un nombre premier.

789. Comme l’équation [3] ne peut avoir pour racine réelle que -f 1, si m est impair, et -f- 1 et — 1, si m est pair, il en résulte que le nombre de ses racines imaginaires est pair, et il est même facile de reconnaître que celles-ci ne different deux à deux que par le signe du facteur y ' — i. Pour obtenir, en effet, deux pareilles valeurs de y, il faut donner à k deux valeurs h ,, „ 2Àir 2A’ir . 2hn . îh’it

et h , telles que cos — =cos et que sm — = — sin ,

• . i j 2Air 2A'it . .

ce qui exige que la somme des arcs et soit un multiple pair de la demi-circonférence ( Trig‘\ 18 et 17); et comme chacun d’eux est moindre qu’une circonférence, on de- 2Aic , lié r.

vra donc avoir :

=2it, d’où h-\-K —m.

Donc, à deux valeurs de k, dont la somme est m, répondent deux valeurs conjuguées de y. Ainsi , on pourra comprendre toutes les racines de l’équation [3] dans la formule

2 Ait , — - . 2As

y — cos ± y ' — 1 sin

et pour en déduire toutes ces racines, il suffira d’y faire varier A

THÉORIE DES ÉOCATIONs-BlNOMES.

depuis zéro jusqu à — ou jusqu a — - — , selon que m sera un nombre pair ou impair.

En effet, les deux valeurs de k, auxquelles correspondent deux valeurs conjuguées de y, sont deux termes équidistants des extrêmes dans la progression 1, 2, 3,... (m — 1), de sorte que si m

est pair, le terme du milieu y occupe le rang — — =y , et

si m est impair, le dernier terme de la première moitié est le (m— 1\“

<nr)'