Si l’on forme le produit des deux racines comprises
dans la formule [8], on trouvera cos*— -t-sin’— = t , ce qui
montre que les racines imaginaires conjuguées de l’équation ym — 1 = 0 sont réciproques.
761. On tire de la formule [8] le moyen de décomposer le premier membre de l'équation y" — 1=0 en fadeurs réels du deuxième degré. Si l’on observe, en effet, que la somme des deux
2/hr '
racines correspondantes à une même valeur de k est 2cos-^-,
on verra que le premier membre de l’équation du second degré qui donnerait ces racines est
y’ — 2cos — y 4-1 ,
puisque leur produit est -|- 1. C’est donc là l’expression générale des facteurs réels du deuxième degré de l’équation [3], de sorte
qu’en y faisant varier k depuis zéro jusqu’à y ou jusqu’à
suivant que m sera un nombre pair ou impair, on obtiendra tous ces facteurs. Il faut cependant avoir soin de ne prendre que la racine carrée des facteurs (y — lf et (y-j-l)\ correspon-
dants à A=0 et à k — — . La raison en est que les racines îma-
046 THÉORIB DBS ÉQI’ATIONS-BIXOMES.
ginaires conjuguées de la proposée sont seules groupées dans l’équation
y* — 2 cos— .y-f 1=0; y m j i
car, lorsque l’on suppose h—0 ou k = ^, son premier membre
devient le produit de deux facteurs égaux correspondants à la racine y=cos 0 = 1, ou à la racine y =cosit=— 1.
D’après cela, on aura, dans le cas où m sera un nombre pair, v
y«-l=(y-l)jy*— 2ycos^+l j jy*—2y cos-^ + 1 }...
et si m est un nombre impair,
y"l=(y— 1} |y*-2ycos^ + 1 j [y*— 2ycos^ -f 1 J... {y*-2ycoS^^-hlj.
*702. L’équation y" — 1=0 étant privée de son second terme, la somme de ses racines est nulle ; mais toutes ses racines se tirent de la formule [7] en y faisant successivement *= 1, =2, =3 ,...=»» ; donc, en additionnant toutes ces racines et égalant séparément à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de la somme, on aura
cos
i — -f cos— -pcos — -f *•.+ cos— — — -f cos 2=0, m m m m
s n - — bsm — j- sm — h--f sm — “ hsin2lt=°-
mm1 m m
Ceci nous apprend que si on divise une circonférence en m parties égales et qu’on prenne un des points de division pour origine des arcs, la somme des sinus des arcs terminés à ces divisions sera nulle, ainsi que la somme de leurs cosinus.
