Occupons-nous maintenant de la résolution de l’équation

Si nous nous reportons à la formule de Moivre,

(cos f -f- y/=î sin ç )m= cos -f- v^— T sin »i<p ,

nous verrons que la fonction (cos ç -f- ^—ï sin <p) sera racine de la proposée, si l'on peut assigner à <p une valeur telle que

cos tny — — 1 et que sin»»p=0.

Or, il n’y a que les multiples impairs de la demi-circonférence qui aient leur sinus nul et leur cosinus égal à — 1 ; donc

m<f = (2* -j- 1 )ir , d’où

Ainsi, la formule générale des racines de l’équation [9] est

(2*-}-l)tt . , — 7 . (2*-f -1)* rin,

y=cos Jn + v/— i sin--4rc— [«>],

et on obtiendra toutes ces racines en donnant h * les valeurs successives 0, 1, 2, 3,..k (m— 1)*

764. En raisonnant comme au n° 757, on reconnaîtra qu’en donnant à A d’autres valeurs que celles-là; on n’obtiertdrait pas de nouvelles valeurs pour y.

On verra, de même qu’au n° 758, que les racines de la proposée sont toutes les puissances de degré impair de

cos— -f y^îsin —, m 1 T m

depuis la première jusqu' à la (2m — l)mt, ou de toute autre racine que celle-ci, pourvu que cette racine soit une puissance

de cos ^ 4 y/ — 1 sin ^ dont l’exposant soit premier avec m.

On reconnaîtra aussi que les valeurs de y sont conjuguées deux à deux et qu’elles correspondent à des valeurs de A dont la

somme est (m — 1), de sorte qu’on obtiendra toutes les racines de

'équation en donnant à k, dans la formule

(M+l)* . . (2A-fl)ir rtl1

y= cos : — —±<J— I sin ! — — [II],

les valeurs 0, 1, 2, 3,... jusqu’à ou jusqu’à m - , selon

que m sera un nombre pair ou un nombre impair.

On vérifiera facilement que les racines imaginaires conjuguées sont réciproques (760;, et on trouvera que la formule des facteurs réels du second degré de notre équation est (761)

• ,, (2A+l)ir . ,

y* — 2ycos- — ^ — 1-1.

* 766. Enfin on prouvera, comme aun° 762, que

cos — ^cos h cos h. ..4- cos — = 0,

. tc . < 3ir . . 5it . . . (2m — 1)tt

sin — 1- sin — i-sin — h... + sin- — =0:

ce qui démontre que si l’on partage une circonférence en m parties égales , la somme des sinus ou des cosinus des arcs gui , commençant à l’un des points de division, iront se terminer aux points-milieux des arcs de division, est égale à zéro.

donne le moyen de prouver que la racine m"“ d’une quantité imaginaire de la forme (a -(-6 y — l) est elle-même une quantité de cette forme, mais il faut auparavant examiner si le théorème de Moivre est vrai, quelque valeur positive ou négative que l’on donne à m.

Supposons d'abord que cet exposant soit un nombre entier négatif , et considérons en conséquence la fonction (cos »-f- — l sin «p)-"* : elle revient à

(cos <p -j- y1 — 1 sin ?)" cos mp-j-y/ — 1 sin mt,'

THÉUHiE DES ÉQUATIONS- BINOMES. . 649

ou , en multipliant les deux termes de cette dernière fraction par (cos »«! p — y — 1 sin my),

/ , , — - . v« coawnf— \/ — 1 sin »u

(cos®-fy — lsinoj = J i — r-j

T T cos’wnp -f-sin'ws

= cos (— wi!p)-f- V'— 1 sin ( — wnp)-

Ainsi , la formule de Moivre est encore vraie quand l’exposant est un nombre entier négatif.

Soit maintenant (cos <p-|- y/— l sin ?)", » étant un nombre entier positif ou négatif. Cette expression revient (312) à

(cos mp-f-y/ — 1 sin n*)". Nous allons examiner si cette dernière peut se ramener à la forme (cos z sin 2). S’il en est

ainsi, nous aurons

coswp + y — 1 sinntp = cos mz -f- y/^ï sin mz,

de sorte que les deux arcs n<p et mz doivent avoir le même sinus et le même cosinus, ce qui exige que

ms — nf — 1fot, d’où s

ns-|-2far.

donc

(cos<p+ y/— F sin = cos^^ + v/=Tsin^±^ [12].

Ainsi, la formule de Moivre n’est plus vraie dans le cas où l’exposant est un nombre fractionnaire. Or, si l'on remarque que

cqs — t- J — 1 sin — 1

«SI * * ATI

(cos — -j-y/^Tsin — ^(cos— -|- y— 1 sin —

on en conclura que, dans le cas où l’exposant sera un nombre fractionnaire^, on pourra encore appliquer la formule, comme

s’il était un nombre entier, mais qu’il faudra multiplier

le résultat, c’est-à-dire la détermination arithmétique de

(cos <p-j- y/— ï sin <p )m, par lesm racines mm‘ de l’unité (738),

de sorte que le théorème est encore vrai dans le cas actuel , si l’on se borne à cette détermination arithmétique.

767. Revenons maintenant à l’expression \Ja-\- b y/— ï. Nous pourrons toujours poser

a=p cos w et b — p sin u> , p et w étant deux indéterminées ; car, on en tire

cos « = a et sim<>= -£=.

± v'«,+ b* ±ya’-j -b'

Ainsi, en négligeant, pour plus de simplicité, la valeur négative de p , ce facteur sera le module de a -J- b y/ — l ; et si on désigne

par « le plus petit arc positif ayant a ■ - pour cosinus et

-f v'a'-fô*

■— pour sinus, l’expression proposée reviendra à

+ va’-f- b1

\j(a-\-b<J — i) = VpIcos 9 -f- y/ — 1 sin ç)

= Vp jcos !+?*;+ vGsinttHîl ,

expression de la forme des imaginaires du second degré, et en y faisant k — 0, =1, =2, =3,... =m — 1 , on déduira de cette formule toutes les valeurs de la racine m” de la quantité (a-fèy/ — l).

La transformation de a-f-ôy/— î en p (cos y-f-y/ — 1 sin <p) mérite d’être remarquée ; car, elle ramène toutes les opérations sur les quantités imaginaires aux mêmes opérations sur des expressions de la forme cos 9 -f- sJ — 1 sin 9 , lesquelles, comme nous l’avons vu dans la Trigonométrie , et d’après la formule de Moivre, se ramènent aux opérations immédiatement inférieures sur les arcs, ce qui est tout à fait analogue au calcul des quantités exponentielles.

* 766. Scolie. Si l’on avait résolu l’équation ym — 1 =0 par la méthode algébrique que nous avons exposée précédemment, on pourrait en déduire un procédé pour partager la circonfé-

rence en m parties égaies. Les racines ainsi trouvées doivent , en effet , être identiques avec les valeurs que l’on obtient en égalant k successivement à 1 , 2, 3, . . . m dans la formule [7] ; si donc à est le plus grand des termes réels qui entrent dans les différentes racines qu’on aura trouvées, azhb^ — 1, a'± b‘\J — 1,

a"±6"y/^ I,..., on verra que o=cos~ et que connaissant ainsi

la valeur numérique du cosinus de la vitn‘ partie de la circonférence, il sera facile d’obtenir cette mmt partie. Il y a plus, c’est que si m est un nombre premier de la forme (2B-f-l), on pourra , ainsi que M. Gauss l’a fait voir, faire dépendre la résolution de l'équation yw — 1 —0 de celle d’une suite (T équations du second

degré, de sorte qu’on obtiendra l’arc — en construisant les racines de ces équations , et qu’ainsi la division de la circonférence en m parties égales pourra s'effectuer géométriquement, c’est-à-dire sans tâtonnements et en ne faisant usage que de la règle et du compas.