IV. DES ÉQUATIONS RÉDUCTIBLES AU SECOND DEGRÉ
769. Il y a encore une classe d’équations que l’on sait résoudre complètement, à l’aide des tables trigonométriques : ce sont celles qui ne renferment que deux puissances différentes de l’inconnue, mais telles que l’exposant de l’une est double de celui de l’autre. La formule générale de ces équations est
x"*-\-1pxm-\-q=0 [13].
En posant xm=y, elle devient
î/’ + 2/Jy-f 7 = 0,
et, en désignant par a et par b les racines de cette équation, il s’agira, pour avoir toutes les racines de la proposée, de résoudre les équations-binomes
t" — a— 0 et xm — b = 0, ee que nous savons faire {748, 787 et 763).
THÉORIE DSS ÉQOATIONS-BINOMES.
Si m est un nombre pair, et que a et b soient deux quantités réelles et positives , la proposée aura quatre racines réelles et toutes les autres seront imaginaires ; si l'une de ces quantités seulement est positive, il n’y aura que deux racines réelles, et il n’y en aura aucune, si a et b sont des quantités négatives ou imaginaires. Dans tous les cas, les racines de l’équation proposée seront deux à deux égales et de signes contraires.
Si m est impair, la proposée aura deux racines réelles, si a et b sont des quantités réelles , mais toutes ses racines seront imaginaires si a et b sont aussi imaginaires.
770. Si les racines a et b de l’équation en y sont imaginaires, on aura
y — —p±. <Jq —
(q — p*) étant une quantité positive, et par conséquent la formule des valeurs de x sera (766)
x = y q j cos <P-"2— ±sin? + ?-V^l j [14],
9 désignant le plus petit des arcs positifs qui ont — ^ pour
cosinus, puisque, pour extraire la racine m"" de la double valeur de y, on aura dû poser
— p — ç cos w, \!q — p’=psino>,
équations desquelles on tire
p =-j-y/g, C0Sc«> = '
' + vV
sinm = V^ - P* ■ + v/ÿ
Or, je dis que l'on obtiendra toutes les racines de l'équation proposée, en donnant à k, dans la formule [14], les m valeurs 0, 1,2,3 ,...(»» — 1). En effet, il est d'abord facile de voir que, pour chacune de ces valeurs de k, on aura deux valeurs pourx,
puisque le terme ± \J — 1 sin — ne saurai t s’évanouir, l’équation [13] n’ayant point de racines réelles. Je dis de plus que,
parmi les 2 m valeurs ainsi obtenues pour x , il n’y en a pas deux qui soient égales. Supposons, en effet, que pour k = A et pour * = A' on ait trouvé deux résultats égaux : il faudra donc que lés arcs
<p-f-2Air. ^ (p-(-2A'«
• Cl
mm
correspondants à ces deux hypothèses aient le même cosinus, et par conséquent que leur somme ou leur différence soit un multiple pair de la demi-circonférence ; donc
équation d’où l’on tire
® = (m» — h — Are, ou =1.
Ces équations sont impossibles; car, la première donnerait sin<y=0, et par conséquent 9 — p*=0, ce qui n’est pas; et le premier membre de la seconde est une fraction, tandis que le second est un nombre entier*. , •
771. Si l’on forme le produit des facteurs du premier degré correspondants aux deux valeurs de x données par la formule [14] pour une même valeur de k, on trouvera
x? — 2’y q cos x -f ’H j
de sorte que pour décomposer le premier membre de la pro-
* Il est facile (te voir que la formule ne serait pas plus générale en donnant à l’arc u toutes les valeurs dont il est susceptible ; car, ces valeurs étant comprises dans l’expression 2 Wk +ç , on aurait
,'=V5- | co,ï±lii±i> ± v=ï j
1 élant un nombre entier positif moindre que m , puisqu'on pourra toujours prendre k=i—k’.
TBÉ0R1E DES ÉQLATIOMÈ-BINOMES.
posée en m facteurs réels du second degré, il faudra faire dans cette formule A — 0, =1 , =2, =3 ,... = w — 1.
772. Qn peut encore, à l aide des tables trigonométriques , résoudre très-rapidement l’équation du troisième degré, dans le cas où ses trois racines sont réelles. Considérons donc l’équation
x’— px-j-ç = 0 [15],
dont les coefficients satisfont à la condition 279' — 4ps<0 (tSdOj. On a vu, dans la Trigonométrie, 41, que, si l’on appelle a le plus petit de tous les arcs dont le sinus est b, les trois racines de l’équation
sontsin^, sin^60° — ^ et — sin^6O°-}-0,de sorte que, sif’on
pouvait transformer cette équation en une autre qui fût identique avec [15], il serait facile d’obtenir les racines de celle-ci. Pour y parvenir, je multiplie par r les racines de l'équation [16], et en désignant par x l’inconnue de la nouvelle équation, j'au-
rai (885)
. 3r* "7 br* n
Pour que cette équation soit identique avec l’équation [15], il faut et il suffit que l'on ait
P=T, el
équations d’où l’on tire
br* 4 ’
Cette valeur de b est réelle, puisque, par hypothèse, 27?* — 4/t» <0.
On connaîtra donc ainsi la valeur de r, celle b du sinus de l’arc a et, par suite, il sera facile d’obtenir les logarithmes des
sinus des ares^, 60° — ^ et 60*-}- puis, en ajoutant i» chacun
de ces logarithmes celui de r, on aura les logarithmes des trois racines de l'équation [15].
773. Exemplb. Résoudre l’équation z’-f-Sz’ — 12z-f-6=0. Je commence par faire évanouir le second terme de cette équation, en posant z=x — 1, et je trouve x8 — 15# 4-20=0, équation qui n’a point de racines coramensurables. Je pose donc p=15, q= 20, d’où je vois que 17 q' — de sorte que ses racines sont réelles. En conséquence, j’exécute le calcul suivant :
log 4 = 0,6020000
log27 = 1,4313638
log4p = l, 7781513
logp=l, 1160913
log q’= 2,0020600
log p*= 2,3521826
log4p= 1,7781613 log 3 = 0,417 1213
4,0334238 log tp3 =4, 1303339
log 4P5 =4,1303339
1,3010300 log r = 0,6605160
log sin«=9, 9030899
logsin ^=9,4831582 logsinj
V— j) =9,8279398 logsinj
lqgr =0,6605160
log r=0, 6505150
log r=0, 0505190
En vertu de la relation z—x — 1 , on trouvera que les racines de l’équation proposée sont
0,360421, 2,009226 et —5,369647,
et comme leur somme, prise en signe contraire, est égale au coefficient du second terme de cette proposée, on en conclut que les calculs sont exacts.
774. La résolution de l’équation [13] nous a conduits à extraire la racine mm' d’une quantité qui est en partie rationnelle et en partie irrationnelle du second degré, et il est naturel de chercher, ainsi qu’on l’a déjà fait au n” 260, s’il ne serait pas possible de substituer à l’expression
une expression dans laquelle il n’y aurait plus de radicaux superposés. Pour que la nouvelle formule ait le même nombre de valeurs que celle-ci, il faut y faire entrer un radical de l’ordre m, et en conséquence nous poserons
V « -f — \fz(x -f v'ÿ) [17] ,
x, y, s étant des quantités qui ne sont assujetties qu’à la seule condition de satisfaire à cette équation et d’étre en outre commensurables. Or, pour que ÿfz {pc -1- \'y) représente la racine m”' de ( a -f- </b) , il faut et il suffit qu’en l’élevant à la puissance m, on retrouve a -f- \fb ; donc
a-h/é — * 1 #*-|-C,#**“V y^Ç^ift~'ty-\-Q.lxm~xy^y-ir ••• } [18],
en représentant en général par C, le coefficient du terme qui, dans le développement de la m®' puissance d’un binôme , en a n avant lui. Le second membre decette équation étant, comme le premier, en partie rationnel et en partie irrationnel du second degré , on voit que l’hypothèse d’où nous sommes partis n’a rien d’absurde *. Tâchons donc d’en déduire les valeurs de nos inconnues. Je remarque, pour cela, que#, y et a étant trois quantités rationnelles, l’équation [18] se partage nécessairement dans les deux suivantes :
V à = s | C 1.r”-yÿ -f- C j#— ’yv'y -f • • ■ j [20] .
* On n’aurait pas pu poser, en général,
a -f yjb= 4- \/ÿ ) !
car, on aurait dû avoir alors
a+^b=x(.y/x+\ly)m=i | ... j
(celte équation s'obtient en remplaçant ipar z’ dans la formule [18]). Or, si m est pair, tous les termes de rang impair sont commensurables, el tous ceux de rang pair sont incommensurables ; car, ils renferment le facteur \/y.
Or, les coefficients de z sont : l’un , la somme des termes de rang impair, et l'autre , la somme des termes de rang pair du développement de (.z -)- \fÿ)~ ; mais le développement de (x — y'ÿ)" ne diffère du précédent que par les signes des termes de rang pair; donc les équations ci-dessus reviennent à
« = !*{(*+ v'ÿy+C*— V'y)"} ,
v'ft = { (x + \fÿ)“ — (x — v'ÿ)" } •
Au système de ces deux équations on peut substituer le système formé de la première, c’est-à-dire de l’équation [19], et de la différence de leurs carrés qui est
a* — b = z\x * — y)", d’où x * — y = - \{n' — b )zm 1 [21].
z étant une indéterminée, il faudra en profiter pour tâcher de
et par conséquent le second membre est de même forme que le premier , de sorte que la transformation est possible.
Mais, si n» est impair, tous les termes de rang impair renferment le facteur yjx, tous ceux de rang pair contiennent y/ÿ , de sorte que l’équation précédente peut se mettre sous la forme
Or, en carrant les deux membres de cette équation , il vient
a’ + ia^b -f 6 = A3* 4- îABy^ïy + B1!/ .
Si ly est un carré, cette équation est absurde : si xy n'est pas un carré, elle se décompose nécessairement dans les deux suivantes
a? + 6= A3* + IDy, et a^b — KB\Jxy, ou bien a3 4 A3i 4- B3y , et o36 = A1B3xÿ.
Ainsi, la somme des deux quantités A3* et B^y est égale k celle de a3 et de b, et leur produit est égal k celui de ces mêmes quantités; donc il faut que A3x = o3 et B >ÿ = k' .
ou que S’y = a3 et A3i=k;
donc x ou y doit être un carré parfait, et par conséquent quand m est impair, on ne peut pas poser >
’v'a + ^=W+VÎ)'
THÉORIE DES ÉOl'ATIOKS-RLNOMES.
rendre (o* — b)zWh-t une puissance parfaite du degré m. En conséquence, je décompose le nombre (a’— b) en ses facteurs premiers, et je suppose que p et q étant ces facteurs, on ait a' — b—p’q*. Si o et p sont des multiples de m, il n’y aura qu’à faire 3 = 1. S’il n’en est pas ainsi , on posera
ce qui donnera
et il s’agira d’assigner à s et à t des valeurs telles que a-)-(wi — 2 )s et p + (»n — 2)1 soient des multiples de m. En conséquence, on fera
a -|- (m — 2)s = mu et p -f- {m — 2)1 = rnv,
d’où l’on tire
mu — ( m — 2)s = a et mv — (m — 2)1 =(5.
On voit par là que, si m est pair et que l’un des nombres a et p ne le soit pas, l’une au moins de ces équations ne pourra pas être satisfaite par des valeurs entières des inconnues, et ainsi la transformation que nous nous sommes proposé de faire sera impossible. Mais si a et p sont deux nombres pairs, ou que m soit impair, on pourra toujours résoudre les équations ci-dessus en nombres entiers, et la transformation pourra être exécutée.
Supposons que l’on ait assigné à z une valeur qui rende (a* — è)s*-‘ une puissance parfaite du degré m, et appelons cia
détermination arithmétique de - ÿ^a’ — b]z’K~*; nous aurons
et il ne s'agira plus que de résoudre les équations [19] et [22], On éliminera donc y entre elles, et si l'équation finale ainsi obtenue , a une racine commensurable , on la substituera dans l’équation [22], et on en déduira une pareille valeur pour y. On remplacera enfin x, y et z parleurs valeurs dans [17], et la séparation des radicaux sera effectuée.
THÉORIE DES ÉOL'ATIONS-BINOMES .
Exemple. Calculer v92-f- 18y/— T.
Nous poserons o=92, b= — 18’ = — 324, et les équations [19] et [21] deviendront
92 = z {a? -j- Zonj) , — « = ^8788. z. .
Le nombre 8788=2M3’; on fera donc z— 2, ce qui donnera x * — y = 13, d’où y=xx — 13, puis 92=2(4^ — 39x) ou 4x* — 39x — 46=0.
Cette équation a — 2 pour racine commensurable; donc y— — 9, et par conséquent
