CHAPITRE XXIV
décomposition des fractions rationnelles
EN FRACTIONS SIMPLES
778 Soit ry— une fraction algébrique dont les deux termes
F(aO
sont des fonctions entières et rationnelles de x, et qui de plus
sont premières entre elles; et supposons encofe que fx) soit d’un degré inférieur à F(x), ce qui est permis; car, s’il n’en était pas ainsi, on effectuerait la division de f[x) par F(x), et on trouverait de cette manière un quotient composé d’une partie en-
tière et d'une fraction dans laquelle le numérateur serait d un degré moindre que le dénominateur. Nous allons nous pro-
fYv }
poser de décomposer cette fraction p^'— en une somme de frac-
tions simples ayant des quantités constantes pour numérateurs et pour dénominateurs respectifs les facteurs du premier degré * de F(x).
* Il est facile de voir que le dénominateur d’aucune de ces fractions ne saurait être une puissance d’un facteur premier différent de ceux de F (x). En effet, soit (i- o] un pareil facteur, et supposons que l’une des fractions
partielles puisse être —A— de sorte que l’on ait, par exemple,
fis) A , A r , t ^ i ...
Je réduis toutes les fractions qui suivent la première, en une seule, que je représente par N c^|aj — (on suppose p<q), et j’aurai ainsi
f h) A M AN+Wi-r — n>
Or, le second membre de celle égalité est une fraction irréductible, donc on doit avoir l’identiléF(*)=N(i-a)*, ce qui prouve que (x-a) est un facteur simple de F(i), qui entre dans ce polynôme à la puissance «.
DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES, BTC. 661
Supposons donc trouvées les m racines de l'équation F(j-)=0, et considérons d'abord le cas où elles sont toutes inégales; désignons-Ies par a, b, c,... k, et proposons-nous de déterminer les constantes A, B, C,... K de manière que l'on ait identiquement
A , JL i Ç t | K F(x) • x — a'x — b'x — c'""'x — A
En multipliant les deux membres par F(x), il viendra
Cette équation devant être identique, il faudra qu'après avoir effectué les opérations indiquées dans le second membre et ordonné par rapport à x, les coefficients des mêmes puissances de cette variable, dans les deux membres, soient égaux entre eux, ce qui donnera autant d'équations entre les inconnues A , B, C,... K qu’il y a de ces inconnues. Mais les calculs ainsi exécutés seraient beaucoup trop longs.
Au lieu d’opérer ainsi, on observera que l’équation [2] devant être vraie , quelle que soit x, on pourra y faire x=a, et alors Ffj?) p r QC\ Ffj/)
toutes les quantités — — -, se réduiront à zéro,
puisque chacune renferme un facteur ( x — a). Quant à
elle deviendra §; mais on voit immédiatement que sa véritable valeur est F'(a), d’après la règle du n° 0O6 ; donc, l’équation [2] se réduit à
f(a) = AF'(fl), d’où On trouvera de même que
» M p /Ie) u .
’FW
Ainsi, en remplaçant A, B, C,...K par ces valeurs dans l’équa-
DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES
tion [2], on obtiendra une équation qui sera vérifiée lorsqu’on y remplacera x successivement par a, b, c,...k ; mais est-on sûr qu’elle le sera aussi par toute autre valeur de a;? Il est permis d’en douter; car, il faut bien remarquer qu’en général il nesuifit pas d’avoir trouvé des valeurs pour les coefficients indéterminés, pour conclure la vérité du développement que l’on cherhe, si l’on n’en a pas démontré a priori la possibilité. Or, l’équation [2] qui est du degré ( m — 1) au plus est satisfaite par tn valeurs de x, x—a, x = b, x=c,...x = k, ce qui est impossible à moins qu’elle ne soit identique (702). Donc on a aussi identiquement
f(x) fia) , f{b) , fjk)
776. Les raisonnements qui précèdent conviennent aux racines imaginaires tout aussi bien qu’aux racines réelles, de sorte que si a=a-|-p/ — 1 et b=a — p \/ — 1 , les constantes qui se rapporteront à ces deux racines conjuguées seront
et B -/•(«- P vg)
P'(“ + ?V — l) F'(a — Pt/ — l)
Comme elles ne différeront que par le signe du facteur v/— -T ,
la somme des deux fractions 1 t reviendra à
nr /i 1 t />
M-fNy/— i M— Ny/^ï 2M(x — «) — 2Nft
X — a — — 1 X — "î (.r — af-j-p*
Par cette transformation, le développement de
ne sera pas
compliqué d’expressions imaginaires.
777. Passons maintenant au cas où le dénominateur F(x) admet des facteurs multiples, de sorte que
F(;r) — (x — a)"{x — bf{x — c)’. . .(x — A).
On voit immédiatement que, dans ce cas, la décomposition indiquée par la formule [1] est impossible; car, en effectuant l’addi*-
El? FRACTIONS SIMPLES.
lion des fractions contenues dans le second membre, on obtiendra une fraction dans le dénominateur de laquelle (x — a) n’entrera qu’à la première puissance, tandis que ce facteur se
trouve à la dans le dénominateur de la fraction par hypothèse, est irréductible.
Afin de découvrir quelle forme doivent avoir les termes dans
m,qw'
f (jq\
lesquels se décompose la fraction proposée 4r— ' , prenons d’a-
bord le cas le plus simple, et supposons que
Si l’on observe que f(x)=f(a-\-x — a), on aura d’après le théorème de Taylor , et en désignant par n'< n le degré de f(x\
f(») ^ fja) , f(o) , Tlrw ■ , 1.2.3.
— (x — a)" ^ [x— a)*-1 ‘r [x — aj*-1 1 '
Ainsi,
fl»)
;est décomposable en une somme de fractions
dont les numérateurs sont constants, et qui ont pour dénominateurs les puissances nm**, (n — 1)“", (n — a)”**’,... du binôme (x — a).
D’après cela, si F(x)=(x — «)n(x — bf(x — e)’ ...(x — k) , nous représenterons par F|(x; le produit (x — bf(x — cf...{x — k), et nous poserons
rw.. à *,
d’où l’on tire, en multipliant les deux membres par F(x), et en transposant ensuite,
Pf») (* — o,."
(i — a,"-' ’fce — a}"^
664 DÉCOMPOSITION DÏS FRACTIONS RATIONNELLES
Or, le second membre de cette équation est divisible par (x — a)" : donc le premier doit l’être aussi. Pour exprimer qu’il en est ainsi, je vais l’ordonner suivant les puissances ascendantes de (x — a), et pour cela je mettrai f[x) sous la forme f(a-\-x — a)f de sorte que j’aurai, d'après le théorème de Taylor,
f{x)=f{a)+f{a) (x — a) -f- (x—af + ...+ (*—«)*,
en supposant que ftx) soit du degré n. On aura pareillement
car, l’équation F(a:)=0 ayant n racines égales à a, son premier membre et ses (n — 1) premières dérivées doivent s’évanouir par la substitution de a au lieu dea:(607). En remplaçant, dans [4], f[x) et F(x) par les deux développements que nous venons de former, et ordonnant par rapport aux puissances ascendantes de (a: — fl), il viendra
l’\a) . P^Vaj
