nj

Tous les termes qui suivent le dernier de ceux que nous avons écrits dans le premier membre de cette équation renfermant le facteur ( x — a) à une puissance supérieure à la (n — l)”*, il faut, pour que ce premier membre soit, comme le second, divisible par (x — a)", que les coefficients de tous ses termes soient

EN FRACTIONS SIMPLES. 665

nuis. On aura donc, d’après cela, pour déterminer les n coefficients A, At, A,, ... A„, les n équations suivantes :

fia\ — ^ F*(a)

'l ‘ VI.2.3...n’

AI.2.3...(n+l)+A| 1.2.3... n ’

Ho) , K- -■(g; ■ F^'ia) F‘(a)

f-'tn) ■ F'- '(a) F-7'») , K*-*{g)

, » ' F"(oj — —

Il sera facile de tirer de ces équations les valeurs des coefficients indéterminés A, A,, A,, ... A„(, et ces valeurs seront toujours finies et déterminées ; car, le coefficient du der-

nier terme de chacune n’est pas nul, puisque (x — a) n’est que n fois facteur dans F(x).

Je dis maintenant que, si l’on remplace A, A,, A,,...A„i par ces valeurs dans l’équation [4], cette équation deviendra une identité, de sorte qu’il en sera aussi de même de [3]. En effet, ces valeurs de A, A,, A,,...A»i sont tirées des équations [6] qui expriment que le polynôme

{■T fl)”'

Fpc)

et ses (n — 1) premières dérivées sont anéantis par l’hypothèse x = a; car, le premier membre de l’équation [5] est le résultat que l’on obtient en remplaçant dans ce polynôme x par {a + (2: — a)J et en ordonnant ensuite par rapport aux puissances ascendantes de ( x — a); donc ce polynôme est divisible (607) par (x — a)*, et peut ainsi être mis sous la forme fi(x).(x — a)n, ft(x) désignant un polynôme qu’il sera facile de connaître; donc les identités [4] et [3] sont satisfaites.

Ayant ainsi mis la fraction proposée sous la forme

866 DÉCOMPOSITION DSS FRACTIONS RATIONNELLES

, , —.t-.. .-r -, ; -r «7 , , on mettra de même

/i(x) . , B . B, . . Bp i . flx)

p— ' sous la forme ; + ; — i + trr-,» en

F,(x) (x—bf r {x—bf-1 1 1 x— b 1 F,(x)’

désignant le produit {x — c)q...(x—k ) par Fj(x). En continuant

de la même manière, on finira par trouver

F(x) (x — af ' (x — a)*-1 ' "

' (x — r)* ' (x — c)*-* -f etc.

778. Ici se présente une objection qu’il est important de prévenir : si au lieu de commencer par la racine a , on eût commencé par une autre racine, ou, en général, si on employait tout autre procédé pour effectuer la décomposition de la fraction proposée en fractions simples , serait-on arrivé au même résultat?

Supposons que l’on eût pu obtenir un résultat différent :

x — a ' (x — bf ' (x — b ) f'~l

-etc.

Je dis d’abord que n'=n. En effet, s’il n’en est pas ainsi, soit j’égale les deux développements et j’en tire la valeur de

; — — -. Cette valeur sera de la forme

(n — 1) étant le plus grand exposant de (x — a), quand on a réduit tous les termes du second membre au même dénominateur.

EK FRACTIONS SIMPLES

Cette dernière équation donne

ce qui exige que À = 0, car, cette équation étant vraie quelle

que soit x, on peut y faire x= a. Donc, puisque A n’est pas nul,

n' ne peut pas être différent de n.

Je dis maintenant que A=À'; car, si l’on réunit les deux

termes et en un seul , on conclura , en

(x— «j* (x— a," (x—af

répétant le raisonnement qui précède, que A — A'=0, d’où

Les deux termes , -et- — ,

étant égaux , on peut les

supprimer dans l’équation formée en égalant les deux développements, et appliquer aux autres termes les raisonnements que nous venons de faire , et on en conclura que tous les termes correspondants à la racine a devront être identiques dans les deux membres. Il en sera de même pour tous les termes correspondants aux autres racines b, c,... k, de sorte que le dévef

loppement de p est unique. .

779. D’après cela, nous pourrons nous dispenser de calculer les polynômes /J (x), fJix),... pour obtenir les valeurs des coefficients B, B,,... B,^, ; C, C,,...C, i,... ; car, il suffira de remplacer dans les équations [6], a et n par b et par p; puis parc et par y,... pour former les équations desquelles dépend la détermination de ces coefficients. On comprend, en effet, que si l’on avait commencé par la racine b au lieu de commencer par a , on aurait exécuté les mêmes calculs, sauf que a et » y auraient été remplacés respectivement par b et par p.

780. Tout ce que nous venons de dire des racines réelles égales de l’équation F(x)= 0 s’applique à ses racines imaginaires multiples; mais, en agissant pour ces dernières racines comme pour les premières, on introduirait des expressions imaginaires dans

DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES

le développement dejr^, et c’est ce qu’il faut en général éviter, ainsi que nous l’avons déjà remarqué (776). On y parviendra en modifiant la forme du développement. Soient a -f- p y/^"î et a — p )/ — i deux racines imaginaires conjuguées de l’ordre n de F(x;=0, on posera

f[r) Ax-fB . A, a? -(-B,

, A,iX-)-B n — 1 j f(x)

en désignant par <]/(•*) lé quotient de la division de F(x) par O— a-j-p*)*. Alors, en multipliant les deux membres par F(x) et en transposant, on trouvera

f{x)— (Ax-|-B>l/(x)— (A,x-fB,)(x— . \

— (Atx-t-B,)(^z=?-fP,/-Kx)— ... . > C«j-

— (A„|X-(-B„|)(j,- — a -j-p’.l 'tfx — a -f-p*) /

Le second membre de cette équation étant divisible par (x — a’-f- p’)", il en devra être de même du premier, c’est-àdire que l’équation , formée en égalant ce premier membre à zéro, devra avoir n racines égales à a-j- p/— ï et à a — py' — l j donc, le premier membre de cette équation et ses (n — 1) premières dérivéesdevront s’anéantir, lorsqu'on y ferax=a±py'' — 1 . Or, en désignant jx— a’+p’S par R, pour abréger, on trouvera que, pour ces hypothèses, les polynômes

m-Mx) ( ( A* + B) + R(A,x + B,) + R’( A,* + B,) + ...+R-'(A-.®+ M 1 .

K.*) -+'(*) t (A* + B) + R( A,x + B,) + R’{ A,x+ B,)+... + R*-' (A.-,x + B.- , ) ) — 'K1) 1 A + RA, + R’A, + ...+ R„,A.-l+R'(Alar + Bl) + 2RR'(A,ï-t-B,) + ... +(» — l)R*-JR'(A»-1x + B»-l)) ,

EN FH, VOTIONS SIMPLES

doivent devenir nuis pour a;=<x-f- Pv^— 1* En effectuant cette substitution, il viendra

/•(«-HV=Î) — 'J'O'-HV — 1 )• (Aa-j-B-j-Apy/ — 1 )~0, j

/'(“+Pv/ — i) — ï~)(Ag+B+Apy/=T) / [9].

— ~ ï)î A+2JV — OÀjB+Bi+AiP^ — i)î=o./

Chacune de ces n équations se décomposera en deux autres; car, il faudra égaler à zéro la partie réelle et la partie imaginaire de leurs premiers membres, ce qui fera en tout 2» équations entre les 2n indéterminées A, B, A,, B,,... A„, et B„,. Un voit par la forme même de ces équations que l’on tirera des deux premières les valeurs de A et de B; de la troisième et de la quatrième, celles de A, et de B, ; de la cinquième et de la sixième, celles de A, et de B,, et ainsi de suite.

Remarquons d’ailleurs que l’on n’obtiendrait pas de nouvelles équations de condition, en substituant a — py — 1 au beu de “+P V/ — 1 è la place de x ; car, pour effectuer cette substitution, il suffirait de changer +y/— ï en — \f—ï dans les équations [9]; et par conséquent les équations dans lesquelles se décomposerait chacune des nouvelles seraient identiques avec celles qu’on a déduites des premières.

On démontrera d’ailleurs, comme au n° 770, que quand on aura substitué ces valeurs des coefficients A, B, A,, B,, A,, B,,... dans les équations [7] et [8], elles deviendront identiques, et il sera facile aussi de prouver que la décomposition ne peut se faire que d’une seule manière.