B = PQ

et comme Qr sera une quantité entière, il en résulte que B est divisible par P. '

98. Théorème Y. Lorsqu’une quantité entière N est divisible par plusieurs quantités entières A, B, C, D, qui sont premières

entre elles deux à deux, elle est divisible par leur produit (AritA., 84). > ' ; •

§ n. Dü "PLUS ‘GRAND COMMUN DIVISEUR.

89. On appelle mis grand commun diviseur de plusieurs quantités algébriques le produit de tous leurs facteurs premier $ communs, affectés chacun du plus petit exposant qu'il a dans ces quantités.

100. Noos distinguerons deux cas, dans la théorie du plus grand commun diviseuralgébrique, selon que les quantités entre lesquelles ou le cherchera seront moaomes ou polynômes.

Si les quantités proposées sont monomes , on cherchera le plus grand commun diviseur de leurs coefficients , et on le fera suivre de toutes les lettres communes à ces monomes, en donnant à chacune d’elles le plus petit exposant dont elle s’y trouve affectée. Ce produit sera le plus grand commun diviseur demandé (99).

101. Examinons actuellement le cas où les quantités proposées sont polynômes, et d’abord nous observerons qu’il suit immédiatement de la définition (09) que la recherche du plus grand commun diviseur de plusieurs polynômes ne dépend que de la détermination de celui de deux polynômes.

Soient en effet les quatre polynômes A , B, C , D. Opérons comme il est prescrit au né 79 de nos Leçons D’Arithmétique , et désignons en conséquence par E le plus grand commun diviseur entre A et B , par F celui de E et de C , et enfin par G celui de F et de 0 ; G sera le plus grand commun diviseur des quatre polynômes A, B, C, B, car il est évidemment le produit de tous leurs facteurs premiers communs , tant égaux qu’inégaux.

1Ü8. Sooub. Dans la pratique, on devra, après avoir ordonné les polynômes proposés par rapportauxpuissancesd’une même lettre, chercher d’abord le plus grand commun diviseur entre les deux polynômes du pins faible degré ; puis celui de

86 DU PLl'S GRAND COMMUN DIVISEUR ALGEBRIQUE.

ce plus grand commun diviseur et du plus simple des polynômes restants i et ainsi de suite.

103. Lemme. On n'altère pas le plus grand commun diviseur de deux quantités h. et H en multipliant oü en divisant l'une d’elles par un facteur premier avec Vautre.

En effet, si M est une quantité première avec B, le produit MA n'ayant pas d’autres facteurs premiers que ceux de M et de A (06), les facteurs premiers qui sont commuas à MA et à B sont ceux même qui l'étaient à A et à B ; donc le plus grand commun diviseur de MA et de B est le même que celui de A et de B (09).

On verrait de même qu’en supposant A divisible par M , le

plus grand commun diviseur de g et de 6 est identique avec celui de A et de B.

104. Ce lemme étant ainsi établi , occupons-nous de la. rechercha du plus grand commun diviseur de deux polynômes, et , pour considérer d'abord le cas le plus simple , supposons que les deux polynômes ne renferment qu'une seule lettre , et que de plus tous les termes de chacun soient premiers entre euxi

Désignons-les par A et par B , et admettons que B soit au plus du même degré que A. D’après la définition , le plus grand commun diviseur demandé est le produit de tous les facteurs premiers communs à A et à B ; donc si B divise exactement A , ce polynôme sera le plus grand commun diviseur de A et de B, puisqu'un polynôme ne peut être décomposé qu’en un seul système de facteurs premiers. Effectuons donc la division de A par B , et cdntinuons-la jusqu’à un reste de degré inférieur à B; soient Q le quotient et Ri le reste; nous aurons

A = BQ + Ri :

or, je dis que, si le quotient Q ne renferme que des termes entiers, le plus grand commun diviseur de A et.de B est le même que celui de B et de Rt. En effet , tout facteur commun à A et à B divise A et BQ , et par conséquent leur différence R, ;

de même tout facteur commun à B et à R, divise A ; donc les facteurs premiers communs à A et à B sont les mêmes que ceux qui sont communs à B et à R, , et par conséquent le pins grand commun diviseur de B et de R| est le même que celui de A et de B. ' .

Donc lorsque la division de deux polynômes s’effectue sans

ADMETTRE DE TERMES FRACTIONNAIRES AU QUOTIENT , le plus grand ' commun diviseur de ces deux polynômes est le même que celui ' qui existe entre le reste de leur division et le polynôme qui a servi de diviseur. . •

La question est ainsi ramenée à chercher le plus grand commun diviseur entre les polynômes B et R,. On divisera donc B par R, ; si la division réussit, Rt sera le plus grand commun diviseur demandé ; sinon , ce plus grand commun diviseur sera le même que celui de Riet du reste R, de cette deuxième division (on suppose toujours que l’on n’ait écrit que des termes entiers au quotient). On divisera donc Rt par Rt, puis le reste R, par celui Rs de la troisième division , puis R3 par le reste R( de la quatrième, et on continuera ainsi jusqu’à ce que l’on soit arrivé à un reste indépendant de la lettre ordonnatrice. Si ce reste est nul , le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur demandé; sinon, les polynômes proposés sont premiers entre eux, sans quoi le plus grand commun diviseur qui, s’il existe, est dépendant de cette lettre (64), puisque tous les termes de chacun sont premiers entre eux , par hypothèse , devrait diviser ce dernier reste, qui est indépendant de cette même lettre.

IOiî. La démonstration du principe , sur lequel est fondée la méthode que nous venons de développer, suppose essentiellement que les quotients successifs aieDt tous leurs termes entiers, car, si le quotient Q de la division de A par B était fractionnaire , on n'aurait pas le droit de dire que tout facteur qui divise B divise BQ. Or, on sent qu’il arrivera très-souvent que la division du coefficient du premier terme d’un dividende partiel par celui du premier terme du diviseur ne s’effectuera pas

exactement. Dans ce cas, on multipliera le dividende par un facteur tel que le terme correspondant du quotient soit entier (nous indiquerons tout à l'heure (106) comment on peut déterminer ce facteur), et cette opération n’altérera pas le plus grand commun diviseur que l’on cherche, si ce facteur est premier avec le diviseur (103). Or, pour que le facteur que l’on introduit ainsi soit certainement premier avec le diviseur, il suffit que les coefficients de tous les termes de ce diviseur soient premiers entre eux , puisque notre facteur est indépendant de la lettre ordonnatrice. Enconséquence, avant de prendre unreste paner diviseur, on aura soin de chercher le plus grand commun diviseur des coefficients àe tous ses termes, et de le diviser par ce plus grand commun diviseur, ce qu'il est permis de faire ( 103), puisque te dividende correspondant , dans la division suivante, a déjà tous ses termes premiers entre eux.

10G. Si le coefficient du premier terme d’un dividende partiel est premier avec le coefficient du premier terme du diviseur, on n’aura qu’à multiplier ce dividende par ce coefficient , et alors le coefficient du terme correspondant du quotient sera évidemment entier. Mais si les deux coefficients dont il s'agit ne sont pas premiers entre eux, il vaudra mieux chercher leur plus grand commun diviseur, et multiplier le dividende partiel par le quotient obtenu , en divisant le coefficient du premier terme du diviseur par ce plus grand commun diviseur. On conçoit en effet qu’en opérant ainsi, on aura rendu le coefficient du premier terme du dividende divisible par celui du premier terme ‘ du diviseur, et que le facteur introduit de cette manière dans ce dividende sera le plus simple possible ( Aritlim ., 93).

107. On voit donc que pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes, il faut leur appliquer la méthode des divisions successives, comme on le fait dans l’arithmétique , avec les modifications nécessaires pour que les termes des quotients successifs que l’on obtiendra soient tous entiers (106), et avoir bien soin de diviser chaque reste par le plus grand commun diviseur des coefficients de tous ses termes, avant de le

prendre pour diviseur. On arrêtera cette sérié d’opérations quand on sera parvenu à vn reste indépendant de la lettre ordonnatrice : si ce reste est nul , le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur demandé ; sinon les polynômes proposés sont premiers entre eux.

108. L’application de cette règle ne saurait présenter de difficultés, dans le cas particulier où nous nous sommes placés; car les coefficients du polynôme B, étant supposés être tous premiers entre eux, le facteur par lequel on devra multiplier A pour rendre la division par B possible en termes entiers, sera nécessairement premier avec B, de sorte que l’introduction de ce facteur n’altérera pas le plus grand commun diviseur cherché. D’un autre côté , les coefficients des différents termes de chaque reste sont numériques , et la recherche de leur plus grand commun diviseur se réduit par conséquent à une simple opération d’arithmétique.

100. Exemple I. Chercher le plus grand commun diviseur des polynômes 20x*-|-8xs— 23x4 13x— 3 et 1 2x‘-8x5— 2 1 x’-}-23x— 6.

1" Division.

On a multiplié le dividende 20*48æ* — , etc. par 3 , pour que le quotient et le reste soient entiers. Ce facteur 3 est le quotient que l’on trouve, en divisant 12 par le pins grand commun diviseur de 20 et de 1 2.

2' Division-

12.16** — 128*J — 336aj+ 368*— 96 ItM^-fSti*5— 76*-f 21 — 108**-)- 228*’ — 63*

On a multiplié le premier dividende et le second chacun par 16. Avant de prendre le reste pour diviseur, on divisera tous ses termes par le plus grand commun diviseur 9. 1 1 de tous ses termes.

3e Division.

Le plus grand commun diviseur est ainsi 4x*-|-4x — 3.

110. Passons actuellement au cas général, et considérons ainsi deux polynômes entiers quelconques A et B. Représentons par Ai le plus grand commun diviseur monome des différents termes de A , et par A' le quotient de la division de A par Ai ; nous aurons

Désignons de même par Bi le plus grand commun diviseur monome de tous les termes de B , et par B' le quotient de la division de B par Bi , de sorte que

B = BiB'.

Cela posé, supposons que l’on ait ordonné les polynômes A' et B', par rapport aux puissances d’une même lettre , et appelons A* le plus grand commun diviseur de tous les coefficients de cette lettre dans A’ , et As le quotient de la division de A' par Ai, nous aurons

A' = A,Aj , et par conséquent A = A|A,A|. Supposons que l’on ait agi sur B' comme on a fait sur A', et soit B1 r^BjBs, et partant B = B|BjBj:

je dis alors que si l’on cherche le plus grand commun divi-

seur dt de A, et de B,; celui d, de A» et de B, , et celui d, de A, et de Bj , le produit