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sera le plus grand commun diviseur des quantités A et B. En effet , tout facteur polynôme premier, dépendant de la lettre ordonnatrice, qui divise A— A, A, A, et 6=6,8,11, , ne pouvant diviser aucune des quantités A, , A,, B, , B,, divise nécessairement A, et B, (95) , et est par conséquent un facteur de leur plus grand commun diviseur rf, (99) ; donc d, est le produit de tous les facteurs polynômes premiers, fonctions de la lettre ordonnatrice, qui sont communs à A et à B. On démontrerait de même que dt et d, sont , l’un le produit de tous les facteurs monomes premiers communs à A et à B , et l’autre celui de tous les facteurs polynômes premiers, communs à A et à B, qui sont indépendants de la lettre ordonnatrice. Donc d,d,d, est bien le produit de tous les facteurs premiers communs à A et à B ; donc il est leur plus grand commun diviseur.

Occupons-nous de la recherche de ces différents plus grands communs diviseurs. La détermination de A,, de Bi et de d, ne présente aucune difficulté (IOO) : quant aux antres, je dis que si l’on savait trouver le plus grand commun diviseur des polynômes A' et B', qui ne renferment plus, chacun, de facteurs monomes communs à tous leurs termes , dans le cas où ils sont composés de n lettres au plus, il serait possible de le déterminer aussi , dans le cas où ils en contiendraient n-j-l . En effet , les coefficients de la lettre ordonnatrice dans A' et dans B' ne renfermant alors que n lettres, on pourrait, d’après notre hypothèse et en vertu du principe du n° 101 , calculer A, et B,, et par suite leur plus grand commun diviseur dt, ainsi que les quotients A, et B,. Cela posé, j’observe que les différents termes de chacun de ces quotients étant premiers entre eux , on pourra appliquer à A, et à B, la méthode du n“ 107 ; car, dans les raisonnements sur lesquels nous l’avons fondée, nous ne nous sommes nullement occupés du nombre des lettres qui pourraient entrer dans les polynômes proposés (105, 104, lOiî et 100). Ainsi, pour

rendre possible la première division partielle, on multipliera À, par une certaine quantité M , qui sera un produit de facteurs premiers du coefficient du premier terme de Bg (106), et cette opération ne saurait altérer le plus grand commun diviseur des polynômes A, et B, , puisque tous les coefficients de la lettre ordonnatrice dans Bg étant premiers entre eux, le facteur par lequel on multiplie A, est nécessairement premier avec Bg (64). Ayant ainsi effectué entièrement la division de A, par B,, on pourra supprimer, dans le reste de cette division, tous les (acteurs monomes qu’il renfermera (100), ainsi que les facteurs polynômes indépendants de la lettre ordonnatrice qui leur seraient communs, car il suffira, pour cela, de chercher le plus grand commun diviseur de plusieurs polynômes de n lettres au plus (101). On procédera ensuite à la seconde division, en prenant pour diviseur ce reste ainsi modifié, et on continuera de la même manière. Donc, on arrivera à la valeur de ds.

La détermination du plus grand commun diviseur de deux polynômes A' et B', qui contiennent un certain nombre de lettres, et qui sont tds que les termes de chacun n’ont d’ailleurs aucun facteur monomc commun, dépend donc seulement de oclle du plus grand commun diviseur de pareils polynômes qui renfermeraient une lettre de moins. Or, nous avons donné une méthode complète pour calculer le plus grand commun diviseur de deux polynômes d’une seule lettre, tels que tous les termes de cliacun seraient premiers entre eux(!07); donc, on pourra trouver le plus grand commun diviseur de deux polynômes qui renfermeraient deux lettres, puis trois, puis quatre, et en général un nombre quelconque de lettres.

fil. R kg le générale. Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux polgnomes A et B, cherches le plus grand commun diviseur monome A t rie tous les termesde A (160); celui B, de tous les termes de B ; puis k plus grand commun diviseur d, de A, et de Bt. Mettez d, de côté, et divisez A et B respectivement par A.x et par B, : vous obtiendrez des quotients A' et B', que vous ordonnerez par rapport aux puissances d’une même lettre. Calculez le

plus grand commun diviseur A, des coefficients du polynôme À', celui Bides coefficients du polynôme B', et le plus grand commun diviseur d, de kt et de B*. Mettez d, de côté, et divisez k' et B' respectivement par A( et par B», ce qui vous donnera des quotients A3 et Bj dont tous les termes seront premiers entre eux. Cherchez enfin le plus grand commun diviseur d» de ces deux quotients , d'après la, règle du n" 107, et il ne s’agira plus ensuite que de multiplier entre elles les trois quantités d, , d, et d,. Leur produit résoudra la question.