Dans le cas ou les deux polynômes A' et B' ne renfer
meront que deux lettres a: et y, et c’est ce cas qui se présentera le plus souvent, on pourra simplifier les calculs de la manière suivante. On ordonnera A' et B' par rapport à y, par exemple, et on cherchera le plus grand cormpun diviseur X des coefficients de cette lettre dans A' ; puis on divisera A' par X. On ordonnera le quotient A" par rapport à a:, et on cherchera le plus grand commun diviseur Y des coefficients des différents termes de A"; on divisera A" par Y, et en appelant A" le quotient de cette division , on .aura • *
À'=XYA".
On mettra de même le polynôme B' sous la forme .
et, en formant ensuite le produit des plus grands communs diviseurs des quantités X et X', Y et Y', A" et B", on obtiendra le plus grand commun diviseur de A' et de B', comme il est facile de le démontrer, à l’aide de raisonnements analogues à ceux qu'on a employés au n° 110.
L’avantage de cette méthode consiste à faire appliquer la règle du n° 107 à des polynômes de degré plus faible que ceux sur lesquels on devrait opérer d’après celle du n* 111. • < '
113. Il y a encore un cas particulier que l’on peut traiter plus simplement que par la règle générale ; c’est celui où V rm des deux polynômes , k', par exemple , renfermera urne lettre x qui ne se trouvera pas dans l’autre B'. On ordonnera alors A' par rapport à x, et le plus grand commun diviseur demandé
sera celui même qui existera entre B' et les coefficients de cette lettre x. Il est évident, en effet, que B' étant indépendant de x,, le plus grand commun diviseur demandé ne peut contenir cette lettre, et divise en conséquence tous les coefficients de x dans le polynôme A' (64), qui est de la forme
ax*-f-ôxii-|-rx7-|-etc. :
donc en cherchant le plus grand commun diviseur des quantités B', a, b, c,... on aura celui de A' et de B'.
Ü4. Exemple. Chercher le plus grand commun diviseur des deux polynômes A = 20yV — 10y*xs — 4y*x7 — 2y7x* — 4y*x‘
— 32y*x* — 28y‘x‘4-2y*x,-f-5yV-f-32y,x5-|-8y'x,-|- 24y V-f- 4y*x7 +6y*x* — 16y5x*4-12y‘x* — 2y‘x‘ — 8yV — 12y5x* — 4y7x' — 2y‘x* 4-2y*x*+4y*x* et B=12y‘xs— 54y‘x’+6yV— I32y’x‘-}i44y*x*
— 30y*x*— I2y7x‘— 30y*x‘— ^y’x»— 48ysx‘4-108y,x*— 12y«x*
— 78y*x* + 48y*xs — 6y*x‘ + 222y‘xs -f 24y*x5— 1 80y*x‘ — 6y*x*
On verra d’abord que A,=»2yV, B, =. 6y*x* ; partant dt = 2y,x’. En divisant A et B respectivement par Ai et par B, , et ordonnant les quotients par rapport à x , on trouvera - A'=(2t/— 2y)x‘+(— y*+5y’— 4)x*+(— 2y«— 2y*-8y«— l4y« -j-10y — 16>rî4-(y' — y*-)-3y‘ — y* — 16y’-f-2y-}-12)x-{-y*-t-4y* -4-6^— 5y‘— 6y, et B'=(2y’+2y)x‘-K— y5— 5y’-f 4;aJ,+(— 2y‘
— 2^— 8y*— 30y — 22)x* +(y,+ 4yi+8y5-f 24y’+ 37 y +18)*
Le plus grand commun diviseur des coefficients de x dans A'est Y=y’ — 1. On le trouve plus simplement que par la règle du n° 101, en observant que le plus simple de ces coefficients est2y* — 2y==2y(y — l)(y + l). Or, en faisant soit y=l, soit y= — 1, dans tous les autres, ils deviennent nuis; d’où l’on conclut qu’ils sont divisibles par y — 1 et par y + 1 (71, 1°), et partant par leur produit y* — 1 (98). Quant au facteur monôme y, il ne peut pas diviser tous les autres coefficients. Si on remarque de même que le coefficient de x* dans B' revient à 2y(y+l)f on verra que pour y = — 1 tous les autres coefficients de x dans B' s'évanouissent , et qu’ainsi le plus grand
commun diviseur des coefficients de B' est Y'=y-j-l. Donc, le plus grand commun diviseur de Y et de Y' est = y -j- 1 . En divisant A’ et B' respectivement par Y et par Y', on aura pour quotients A" = 2ÿx* + ( — y* + ^ + ( — 2y* — 2 y* — 1 Oy — 1 6 )x* + (y* — y’-My’— 2y — 12)x-|-y* + 5y*-f 6y, et B u +(-y’-4y+4)^+(-2y»-8y-22)uJ+(y*+3y*+5y>+19y + 18)x — y* — y* — 4y* — 9y.
J’ordonne actuellement ces polynômes par rapport à y, ce qui donne
A"= (x 1 )y* -j- ( — 2x* — x)ys -(- ( — — 2x*+ Ax 5)y’
-{-(2x‘ — lOx* — 2x -j- 6)y -j- ■to5 — I6x* — 12x, et B" = (x— l)y»+(— 2x* + 3x— l)y»4-(— x* + 5x — 4)y* ’ -f- (2x* — 4X* — 8x*+ J9x — 9)y-|-4x* — 22x*-|- I8x.
On voit immédiatement que l’hypothèse de x= — 1 n’anéantit pas le coefficient de y* dans A", et que par conséquent ce polynôme n’est pas divisible par le coefficient x -\- 1 de son premier terme. Au contraire, en faisant x = l dans B", tous ses termes s’évanouissent, de sorte que ce polynôme est divisible par x — 1. Ainsi X=l, X' = x — 1, et leur plus grand commun diviseur é?s= 1. J’effectue la division de B" par X', et je trouve pour quotient B*=y*-j-(— 2x-j- l)y*-H — x*— x-f-4)y* -t-(2x’ — 2x* — lOx-f-OJy-j-^x* — 18x.
Il s’agit actuellement d’appliquer la méthode des divisions successives (107) aux deux polynômes A" et B".
I™ Division.
quotient.
lÿ1— 2jt’u3— r1
y1— Jj-I/'-j’
y+ tx>
— lGx>
— iRx
— lîx
+2x> ya+ x3 + x +2x’ — 1 — 3x
y — txJ +n*3
y— îx1
■f Cx
T Divùion.
y — * g«kQ»i«U.
■ÿ4— îarly*— T’|y*+ 2+ +1 1 ~ « -2*’
y— rjy1 — îi*
|y»+2iJ
iv3+ **
H-Sa1 — 10*!
— * iy’+ *!
Division.
2*%+ 2*= x — Ci 3 I
quotient.
y1— i’jy— 2i* +ïx +G*>
—3 I +Gi
y>— «*|y* î*viy+ S*5) * On a multiplié le dividende par *— 3
* Ou a multiplié le reste par x— 3.
Ce dernier reste revient à — 3(4 x — là) (y — 2x). On supprime donc le facteur — 3(4x — 15), et il s’agit de diviser le polynôme diviseur par -j- y — 1x. Mais, au lieu d’effectuer cette division, il sera plus simple de faire y=2x dans ce polynôme. Comme on trouve qu’il se réduit à zéro par cette substitution, on en conclut qu’il est divisible par y — 2x (71, 1»), et qu’ainsi le plus grand commun diviseur de A" et de B* est dk= y — Zx. Le plus grand commun diviseur demandé est donc
d,d,dad, = 2 y V(y + 1 ) (y — Zx).
il K. Pour réduira une fraction algébrique à sa plus simple expression , on divisera ses deux termes par leur plus grand commun diviseur (70). On verra ainsi que
lZxk — 803* — 21a>x,-j-23a3.r — 6a* 3æ* — 5ax-f-2«*
20x*-f-8ax3 — 23a,x‘-j-13asx — 3a* àx' — 3 ax-\- «*’
le plus grand commun diviseur de ses deux termes étant 4x1-j-4ax — 3a1.
116. Problème. Trouver le plus simple multiple de plusieurs quantités données A, B, C, D.
On cherchera le plus grand commun diviseur de A et de B, on divisera B par ce plus grand commun diviseur, et en multipliant A par le quotient B' de cette division , on obtiendra un produit AB', qui sera le plus simple multiple de A et de B. En cherchant de môme le plus simple multiple de AB' et de C, on aura le plus simple multiple des trois quantités A, B,C, et ainsi de suite ( Arith ., 05).
117. Dans la théorie générale des équations , on restreint la définition que nous avons donnée des quantités entières. On y regarde comme entière toute quantité dans l'expression de lar quelle les inconnues n'entrent dans aucun dénominateur , ni sous aucun radical, et pour qu'une quantité soit dite divisible par me autre, il suffit que leur division ne donne pas de reste, et que le quotient soit entier pur rapport aux inconnues, de même
que les quantités proposées. Ainsi |-
• 6y’, fonction en-
tière de x et de y, est divisible par -x — y\/2, parce que le
reste de cette division est nul , et que le quotient -x-f-3yy'2 est aussi une fonction entière de x et de y.
En partant de ces définitions, on démontre facilement les propositions suivantes :
118. Théorèmb I. Tout facteur du premier degré x — a, qui divise le produit AB de deux fonction s entières de x, divise nécessairement Tune d’elles.
Supposons, en effet, que le binôme x — a ne divise pas A , j’effectue la division de ces deux quantités, et je pousse l’opération jusqu’à ce que je trouve un reste indépendant de x. Soient R ce reste et Q le quotient, lequel est ainsi une fonction entière de x\ nous aurons
Je multiplie les deux membres de cette égalité par le rapport g, ce qui donne
AB BQ B *
i Or, puisque AB est divisible par x — a, et que R est indépendant de x, on voit que le premier membre de cette égalité
