Théorème II. Si un binôme du premier degré x — a

divise un produit de plusieurs facteurs entiers par rapport à x,

il divise l’un deux.

Démonstration du n° 05.

ISO. Théorème III. Toute fonction entière de x ne peut être décomposée qu'en un seul système de facteurs binômes du premier degré par rapport à cette lettre.

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Soient A (x — a) (x — b ) (x — <•)... et k'(x-r-af) (x — b’) (x — c')... deux expressions de la fonction proposée, A et A' désignant des quantités indépendantes dex : puisque le binôme du premier degré x — o' divise le produit A'<x — a')(x — b') (x — c')..., il doit diviser son égal A(x — a ) (x — b) (x — e)..., et par conséquent un de ses facteurs x — a, x — b, x— c,... (119); mais comme ils sont du premier degré, il faudra qu’il soit égal à l’un d’eux. Supposons x — a'=x — a. Les deux produits A(x — a)(x — b){x — e)... et A'(x — a') (x — b') (x — c')... étant égaux, si on les divise respectivement par x — a et par x — o', les quotients A(x — b)(x — e)... et A'(x — b') (x — c')..r devront être égaux. Or, x — b' divise le second ; etc. (Voyez l’ Arithmétique, n° Ou.)

121. On appelle pins grand commun diviseur de plusieurs fonctions entières de x le produit de tous les facteurs du premier degré en x qui leur sont communs , chacun d’eux étant affecté du plus petit exposant qu’il a dans ces fonctions.