X ' — CL

en réduisant l’entier (x — a) et la fraction qui l’accompagne en une seule fraction, et mettant ensuite (x — a) en facteur commun des quantités qu’ibmultiplie.

Maintenant, quand le second aura prélevé 2a sur cette somme,

il ne restera plus que ^ ^ — — — 2a, de s01"1® que 'a part

de ce second enfant aura pour expression

Mais cette part doit être égale à celle du premier, donc on a l’équation

0+£=f=2a+<îziî2^?! pj.

Remarquons, avant d'aller plus loin, que d’après la manière dont cette équation a été formée, on est sûr que si l’on partage la valeur de x que l’on en tirera, conformément aux conditions de la question, les deux premières parts seront égales, mais on ne peut pas affirmer que les autres leur seront aussi

égales , puisque , pour obtenir l'équation [3] , on n’a eu aucun égard aux conditions d’après lesquelles elles doivent être formées. Ainsi il faudra vérifier qu’elles sont effectivement égales.

Je retranche a des deux membres de l’équation [3], et je fais ensuite évanouir les dénominateurs, ce qui donne

n(x — à)' — ait -f* (n — 1) (ar — a) — 2an ;

d’où , en transposant ,

x — a — an' — 2 an,

et par suite

x = an* — 2an -f- a = a (n — 1)’.

Ainsi l’expression du bien du père est «(» — 1)*.

La valeur de x — a étant on* — 2an, il en résulte que le premier enfant recevra . '

an* — 2 an

s a-\-an — 2 a=a{* — 3).

Puis donc que toutes les parts doivent être égales , on obtiendra le nombre des enfants, en divisant a (n — 1)* parafa— t), ce qui donnera (n — 1) pour valeur de ce nombre.

Comment vérifier que si l’on partage la somme a (n — 1)’, conformément aux volontés du testateur, tous les enfants auront des parts égales? Si la valeur numérique de n était donnée, rien ne serait plus facile, car il suffirait de calculer directement les parts du 3% du 4’, du 5*.... enfant. Mais ce procédé est impraticable ici , car l’opération ne pourrait pas avoir de fin. Nous allons employer un mode de raisonnement dont nous avons déjà donné un exemple (07’). Nous supposerons donc qu'ayant calculé les parts des m premiers enfants , on les ait trouvées toutes égales à a (n — 1) , et nous examinerons si la suivante leur est aussi égale. S’il en est ainsi, nous conclurons que, comme les deux premières parts sont certainement égales à a (n — 1), il en sera nécessairement de môme de la troisième ; par suite, que les trois premières parts étant égales à a (n — 1), il en sera

de même de la quatrième et ainsi de suite , de sorte que tomes

les parts seront ainsi égales.

Les m premiers enfants ayant reçu chacun a (n — 1), ils auront laissé à leurs frères

n(n — 1)’ — ma(n — l) = a(» — l)(n — 1 — m),

de sorte que le (m + 1)“* enfant prélevant (m-}- l)a sur cette somme, et prenant encore la n”' partie du reste, sa part aura pour expression

(m-fl)a-) ;

Donc toutes les parts seront effectivement égales.

135. Problème 11. Deux mobiles partis en même temps des points A et B, qui sont distants de a mètres, parcourent la droite AB , d'un mouvement uniforme , en allant dans le sens AB. Leurs vitesses * respectives sont v mètres et v' mètres par minute. On demande quelle est la distance du point A à leur point de rencontre.

rt a b “ b

. Représentons par x la distance du point A au point R de rencontre des deux mobiles ; la distance de B à ce point sera exprimée par x — a. Cela posé, puisque les deux mobiles partent en même temps des points A et B et qu’ils arrivent au même instant au point R, les temps qu’ils emploient respectivement à aller des points A et B au point R doivent être égaux, de sorte que nous mettrons le problème en équation en égalant ces deux temps. Or, dans le mouvement uniforme, les espaces sont proportionnels aux temps employés à les parcourir : ainsi , nous

* La vitesse d’un mobile est l’espace qu’il parcourt dans l’unité de temps.

calculerons le temps que le mobile parti de A met pour aller de ce point au point R, par la proportion

On trouvera de même que le second mobile emploiera un temps