OC CL

marqué par - -y- , pour parcourir la distance BR:=æ— a donc

équation d’où l'on tire successivement

v'x = vx~— av , av = (y — v')x ,

Telle est la formule qui résout le problème.

Si les mobiles parcouraient respectivement 15 mètres et 8 mètres par minute et que la distance AB valût 14™, on ferait r = 15 , t/ = 8 et a = 14 dans cette formule, et on trouverait 14 15

x— -■ -. = 30. Ainsi le point de rencontre est à 30 mètres

du point A. - .

130. Nous allons actuellement discuter la formule [5], c’éfctà-dire examiner si , d’après les différentes hypothèses qu’on pourra faire sur les valeurs des quantités a, v et v'r les résultats qu’elle fournira seront d’accord avec les circonstances physiques de la question, qui correspondent à ces différentes hypothèses, et nous pourrons apprécier ainsi la généralité dont l’algèbre est susceptible.

Nous distinguerons trois cas principaux, selon que v sera plus grand que v', égal à v' ou plus petit que v'.

1" Cas. v > v'. Dans cette hypothèse, la valeur de x est positive, et v étant plus grand que v — v' , cette valeur est plus grande que a , comme cela doit être.

Si on suppose que l'on donne kv des valeurs de plus en plus

petites, les deux termes de la fraction ; diminueront en

même temps, et ainsi on ne voit pas immédiatement comment variera cette fraction. Pour le découvrir, je divise ses deux termes par v , ce qui donne x = — - — -, , et on reconnaît alors que,

diminuant, la fraction -augmentera, qu’en conséquence fe

dénominateur I diminuera, et qu’ainsi la valeur de x de-

viendra plus grande , puisque son numérateur a est constant. Donc le point de rencontre esLd’autant plus loin de A que la vitessedu premiermobile est plus petite, ce qui eneffctcst évident. 137. 2* Cas. Si la vitesse v dcvienLégale à v', le dénominateur

v — 1/ = 0, de sorte que la valeur de x prend la forme — . Or,

que signifie une pareille expression? Pour le découvrir, je remarque que si, laissant invariable le numérateur d’une fraction

je donne à son dénominateur des valeurs 2, 3, 4, 5.... fois

plus petites, cette’ fraction deviendra 2, 3, 4, 5.... fois plus grande ; d’où il, est facile de prévoir qu’en donnant à co dénominateur une valeur suffisamment petite, elle deviendra aussi

grande que l’on voudra. Posons en effet ^>8, £ désignant une

grandeur quelconque. Si nous multiplions les deux membres de celte inégalité par b , ce qui est permis, car ici a, b et S sont des nombres abstraits absolus, il viendra et, en divisant les

deux membres de celle-ci par S , on trouvera b. Si donc b

représente une quantité susceptible de décroître indéfiniment , on pourra toujours satisfaire à cette dernière inégalité , et par conséquent î» la proposée, dont elle n’est qu’une transformée. Ainsi donc , en faisant décroître indéfiniment le dénominateur d’une fraction dont le numérateur est constant, on fera acquérir

rv

* Dtl PREMIER DEGRÉ. - . 83

à cette fraction une valeur plus grande que toute quantité assignable. On dit en conséquence qu’une fraction dont le dénominateur est zéro, sons ffue son numérateur le soit, est infinie.

On représente cette valeur infinie par ce signe « ; ainsi nous écrirons que x = oo , quand t> — v'.

L’algèbre nous apprend , par cette valeur infinie de 'x*, que le point de rencontre est alors infiniment éloigné du point A , '

de sorte que les deux mobiles ne se rencontreront jamais. C'est en effet ce qui a lieu, car, dans l'hypothèse actuelle de v—v', ils doivent toujours être à la distance de a mètres l’un de l’autre.

L’algèbre, en nous donnant pour x une valeur infinie, nous indique que quand v—v\ il faudrait, pour vérifier l’équation [4] , y remplacer x par une quantité plus grande que toute grandeur assignable, ce qui ne se peut pas, de sorte que celte équation exprime alors une condition qu’il est impossible de remplir t c’est-à-dire quW/e est absurde. En effet, en y faisant

v=v', elle devient - = - — , équation absurde, puisque'

deux fractions qui ont des dénominateurs égaux et des numérateurs différents .ne peuvent pas être égales.

lôft. En général, lorsqu’ en assifjnunt oertaines valeurs aux • lettres qui entrent dans l'expression de l’inconnue d’une équation, on trouvera une valeur infinie pour cette inconnue, on devra, en conclur e que cette équation est absurde.

En effet , on pourra toujours ramener l’équation proposée à *

la forme Aor=B (132), d’ou l’on tire t = ^. Or, si A se réduit' à zéro et que B prenne une valeur b, qui n’est pæ nulle, auquel cas on a x = ^ = oc , on voit que l’équation Ar = B ne peut

* Si toute /ois la formule [5] est applicable au cas actuel; et il est permis d’endouler, car lorsque r = i', il n’est plus possible de tirer la valeur de jc de la transformée (r— é')ï = ar, puisque celle équation se réduit alors à 0 = ov. '

être vérifiée per aucune valeur de x, car quelle que soit la quantité finie que l’on substitue à x, le produit de zéro par cette quantité sera toujours zéro, et ainsi le premier membre ne sera pas égal au second. Donc , l'équation Ax = B est absurde ; mais elle n'est qu'une transformée de la proposée, donc celle-ci l’est aussi. .

Réciproquement, si une équation devient absurde pour certaines valeurs données aux lettres qui y entrent , la formule qui donne la valeur de l'inconnue se réduira à l’infini.

En effet, on pourra toujours ramener l’équation proposée à

la forme Ax=B, qui donne x =^, et cette équation devra

être absurde, comme la proposée, dont elle n'est qu’une transformée. On ne doit donc pas pouvoir en tirer de valeur pour x, sans quoi on la vérifierait en y remplaçant x par cette valeur ; .

donc il faut qu’elle ne renferme pas x, ce qui exige que son

coefficient A devienne nul , sans que B le soit , car alors l’équa-

tion serait identique. Mais alors la fraction - = « , et c’est pré-

cisément ce que nous voulions démontrer.

130. Si , les vitesses des deux mobiles étant toujours égales,

' on suppose qu’ils partent en même temps du même point A, on aura alors a=0, et par conséquent la valeur de x deviendra g. Ainsi, pour avoir x, il faut trouver uu nombre qui, multiplié par zéro, donne pour produit zéro ; et comme tous les nombres satisfont à cette condition , on est porté à en conclure que g est en général le symbole d’une quantité indéterminée.

Je dis en général , parce qu’il y a des cas où une fraction peut avoir une valeur déterminée, bien qu’elle se présente sous la forme g. Considérons en effet l’expression

qui se réduit à g, lorsqu’on suppose que x=a. Nous observerons que le numérateur revient à (x-j-a) (x— a), de sorte

qu’en supprimant le facteur x — a, qui est eommun à ses deux termes , on aura

a (x — fl) a a '

Or, si en partant d’une valeur de x autre que a, plus grande, par exemple , que cette quantité , on suppose que x décroisse d’une manière continue , et tende à s'approcher de a d’aussi

près que l’on voudra, les quantités — — et - -f- 1 varieront,

mais en restant toujours égales, et par conséquent leurs limites seront égales ( Arith ., 257) ; or, on peut ass;gner à x une valeur

assez rapprochée de a poür que la fraction - diffère de l’unité

d’aussi peu qu’on le voudra, de sorte que la limite du binôme

j^+1 est 1 + 1= 2; donc

Lit n

La fraction proposée n’est donc pas indéterminée, sa véritable valeur est 2 quand x=a-, et on voit que si, pour cette valeur de x , elle s’est présentée sous la forme $, c’est parce que ses deux termes ont un facteur commun x — a, qui, s’anéantissant dans l'hypothèse x = a, masque ainsi la véritable valeur de celte fraction. \ ' ' ‘ ; •

140. 11 suit de là que, si, pour une certaine hypothèse faite sur les quantités qui entrent dans ses deux termes , une fraction se réduit à g , os ne devra rien conclure de cb résultat, mais il faudra examiner avec soin si ses deux termes n'ont pas un (acteur commun qui s’évanouisse par l’hypothèse dont il s’agit. Si l’on découvre un pareil facteur, il faudra le supprimer, et faire ensuite dans la fraction simplifiée l’hypothèse qui avait donné g , et on aura la véritable valeur de la fraction proposée . Si l’on ne reconnaît pas la présence d’un pareil facteur, il faudra remonter à réquation dont l’inconnue est exprimée par cette fraction, y

RÉSOLUTION DBS ÉQUATIONS faire Us hypothèses qui l'ont réduite à 2 et résoudre ensuite la nouvelle équation. Si cette équation est une identité , comme serait ax + b = ax + b, elle est indéterminée, c'est-à-dire qu 'elle sera satisfaite par toutes les valeurs possibles de x ; donc alors £ sera effectivement un symbole d’indétermination*.