D’après cela , comme il n’y a pas de facteur commun

aux deux ternies de la fraction — , nous ferons a=0 et v—r/

dans l’équation [4] , et comme elle se réduiraà l’identité ,

nous en conclurons que la valeur de x est complètement indéterminée. En effet, lorsque, en faisant varier a et v , a tend

vers zéro et v vers v’ les deux termes de la fraction ■ aV -, ,

tendant chacun vers zéro, indépendamment l’un de l’autre, on peut assigner à ces quantités des valeurs aussi peu différentes de zéro que l’on voudra , et de sorte que leur rapport soit en même temps égal à telle quantité que l’on aura donnée.

De cette indétermination de x , nous devons conclure que tous les points de la route sont des points de rencontre, puisqu’on peut prendre la distance de chacun d’eux au point A pour une solution de l'équation [4]. Ce résultat est d'accord avec les conditions physiques de la question , car lès hypothèses û=0 et v=-v signifient que les deux mobiles partent en même

* Si dans les expressions

on suppose que les qtunUlés a et b deviennent milles , ces expressions se réduiront respectivement à ,

. * ® , 0.® et «o—®.

Mais si, avanl de faire a = o et 6 = 0, on commence par effectuer tes. opé rations indiquées, cm trouvera qu’elles se présenteront tontes trois sous la forme J ; rte sorte que f£-, 0.® et ® — « peuvent aussi être des symboles d'indétermination.

temps du même point et avec la même vitesse , et que par conséquent ils ne pourront jamais se séparer.

Si, les vitesses des deux mobiles n’étant plus égales , en suppose encore a — 0, la valeur de x deviendra — — , =0 , car un .. • v^r-v .

produit ne peut être nul à moins que l’un de ses facteurs ne soit zéro. La rencontre se feit donc au point A,- ce qui est . évident. - ■

142. 3*Cas. Supposons maintenant Le dénominateur de la valeur de x est alors négatif ; et comme le numérateur est positif, cette valeur est négative. C’est donc à dire que la distance du point A au point de rencontre doit être -comptée à gauche de A , sur le prolongement de BA (22). Or, ce résultat ne peut s’accorder avec l'énoncé du problème , puisqu’on y a supposé que le mouvement des mobiles était dirigé dans le sens AB. Il nous indique donc 1° qu’iï y a dans cet énoncé une condition impossible à remplir; et, en effet ,' il est évident que si le mobile parti de A a une vitesse moindre que l’autre , il ne pourra jamais l'atteindre , s’ils se dirigent de gauche à droite ; 2“ que pour rectifier l’énoncé du problème , il faut supposer que les deux mobiles aillent dans le sens AB, et dire en conséquence : Deux mobiles partis en même temps des points A et B parcourènt la droite AB, en allant dans le sens BA; leurs vitesses , etc.

U est au reste facile de démontrer que pour que la formule [6] puisse déterminer , dans tous les cas, le point de rencontre des deux mobiles, il est indispensable de convenir, comme nous l'avons fait au n* 22, que des quantités affectées de signes contraires doivent avoir des modes d’existence directement contraires. .

Revenons en effet à l’équation [4], et j'observe d'abord que celte équation n'est pas absurde , bien qu’elle doune pour x une valeur qui, étant négative, n’a aucun sens, si l’on ne veut pas admettre a priori les idées -que nous avons émises sur les quantités positives et négatives; puisque la substitution de cette valeur négative à la place de x rendra certai-

nementses deux membres identiques. 11 faut donc que l’énoncé du problème renferme quelque condition impossible à remplir

par une valeur positive de a-, ou bien qu’en mettant le problème en équation , nous ayons fait quelque hypothèse erronée sur la position du point de rencontre. Or, si, clans l’équation [4], on change x en — x, on ne trouvera plus, en la résolvant, un résultat vide de sens, car la valeur de x qu’on en tirera sera égale et de signe contraire à celle exprimée par la formule [5] , c’est-à-dire positive. En effet, il est clair que changer dans une équation x: en — x, puis faire dans la transformée x= «, c’est la même chose que de substituer immédiatement — a à la place de x dans la proposée; donc si x— — a satisfait à celle-ci, x=+a satisfera à celle-là. Par conséquent, si l'énoncé du problème est vicieux, il suftira , pour le rectifier, de changer x en — x dans l'équation , et de modifier cet énoncé de manière que la nouvelle équation en soit la traduction fidèle. Cette nouvelle équation est — - , ou , en changeant les signes

des deux membres , . . . , '

•JC ’ <

Dans cette équation , - représente , comme nous I avons vu , le temps qu’il faut au mobile parti de A pour aller au point de rencontre: donc —^7— représente le temps qu’emploiera l’autre

mobile, pour aller du point B à ce même point. Mais ce temps se calcule en divisant l’espace à parcourir par la vitesse ; donc , puisque v' est cette vitesse, x-\-a est cet espace, ce qui exige que le point de rencontre soit situé à gauche de A, sur le prolongement de BA , et à une distance de A marquée par la valeur de x tirée de l’équation [6] , c’est-à-dire par la valeur absolue de x donnée par la formule [5]. Donc, pour rendre cette formule applicable au cas où v<v' aussi bien qu’à celui où v>v\ il faut convenir que la valeur de x devant être portée à droite du

BU CREMIER DEGRE. 89

point A sur la ligne indéfinie AB, quand elle est positive , cette même valeur devra être portée, au contraire, àgauche du point A, lorsqu’elle sera négative, c’est-à-dire que des quantités affectées de signes contraires doivent avoir des modes cT existence direc-

tement contraires, et ce sont là les conventions mêmes que nous avons faites au n° 22.

Quant à l'énoncé du problème , il est erroné en ce qu’il suppose que le mouvement des mobiles est dirigé de gauche à droite , tandis qu’il doit l’être de droite à gauche , pour que leur rencontre soit possible , et il est en conséquence facile de rectifier cet énoncé.

143. Si , au lieu de faire partir les deux mobiles des points A et B , on suppose qu’ils se meuvent depuis un temps indéfini , dans le sens AB, mais qu’ils arrivent en même temps aux points A et B, la valeur négative trouvée pour x , lorsque v<v', n'indiquera plus une absurdité dans l'&noncé du problème ; car on conçoit que les deux mobiles étant en mouvement depuis un temps indéfini , dans la direction AB , celui qui arrive en B à l’instant où l’autre atteint le point A , a dû, "à une certaine époque, se trouver en arrière de celui-ci, dont la vitesse est moindre

que la sienne, et le rencontrer par conséquent avant son arrivée

au point A. Celte valeur négative provient de ce qu'en mettant le problème en équation nous avons fait une fausse hypothèse , en plaçant le point de rencontre à droite de A , tandis qu’il doit être à gauche. Et, en effet , si R' représente la position de ce point et que x désigne toujours sa distance au point A , x-f-a exprimera la distance BR’, de sorte qu’en écrivant encore que les deux mobiles ont mis des temps égaux pour aller de ce' point R’ aux points A et B , on obtiendra pour l'équation du. problème actuel

qui n’est que l’équation [0] elle-même ; par conséquent , en la résolvant, nous trouverons une valeur égale et de signe contraire

à celle que nous avons tirée «le 1 équation [4], c’est-à-dire une valeur positive, puisque v est supposé <t>'.

144. Enfin nous observerons qu’il est facile de rendre la formule [5] applicable au cas où les deux mobiles se mouvraient en sens contraire ; car, puisque nous repardons comme positives les distances mesurées dans le sens AB, il est clair que si les mobiles vont à la roncontre l’un de l’autre, la vitesse de celui qui part de B devra être actuellement affect»^ du signe — , et qu’ainsi il suffira de changer dans [4] v' en — v', ce qui donnera

au • .

C’est effectivement lîi ce que l’on trouverait en traitant directement la nouvelle question.

1 4iî. Concluons donc 1° que la valeur néyntivc trouvée pour l’inconnue (l'un problème peut provenir de ce que son énoncé renferme une condition impossible à remplir ; que pour rectifier cct énoncé , il faudra changer x en — x dans l'équation , et modifier f énoncé de sorte que la nouvelle équation en soit la traduction fidèle ; et qu enfin on obtiendra la solution du problème , en attribuant à l'inconnue un mode d’existence directement contraire à celui qu’on lui avait supposé.

Si , d’après la nature des conditions ph y tiques de la question, l'inconnue ne pouvait pas admettre oes deux modes d'existence opposés, il faudrait rejeter la valeur négative trouvée, et en conclure que le problème est tout à fait impossible.

2° Que la valeur négative trouvée pour l’inconnue d’un problème peut provenir, non d’une absurdité dans l’énoncé, mais d’une fausse hypothèse qu'on aurait faite en le mettant en équation; mais qu'on obtiendra encore la solution cherchée , en attribuant à l’inconnue un mode d'existence directement contraire à celui qu’on lui avait supposé.

3° Que si dans l'énoncé d’un problème , renfermant des quantités qui peuvent avoir de* modes d'existence directement con-

. •• »U PIIBtUEH DEGHÉ. 91

traires , qveJques-unes d'entre elles viennent à être comptées dans un sens opposé à celui qu'elles avaient, quand l' équation

de ce problème a été établie , il ne sera pas nécessaire de former directement une nouvelle équation pour le nouveau problème, il suffira de changer, dans la première le signe de chacune des quantités , dont le mode d’existencè aura changé.

On n’a pas démontré directement et d’une manière générale cette propriété des signes + et — ; on ne s’en est assuré que par un grand nombre de vérifications , qui heureusement sont assez variées pour qu’il ne puisse exister, dans un esprit juste , aucun doute sur l’exactitude de celte propriété essentielle.

140. Nous avons vu que quand t> la formule [5] donne pour x une valeur négative : or, si l’on suppose que v' diminue, les valeurs correspondantes de x restent négatives , mais augmentent numériquement jusqu’à l’infini, ce qui a lieu quand v'=v. Ainsi , suivant que v' décroîtra jusqu’à devenir égal à v, ou que c’est v qui diminuera jusqu’à devenir égal à v', la valeur de x tendra vers Y infini négatif ou vers Y infini positif. Mais si

1 on considérait l’une ou l’autre des deux expressions — —~r.

. [v — vf

et — » *a valeur de la première, correspondante à

l’hypothèse v = v1, serait -f- » , et celle de la seconde — » , car l’nne reste toujours positive et l’autre toujours négative, quelque valeur que l’on attribue à v'.

147. Nous insistons sur ces valeurs infinies de l’inconnue d’un problème ; car, bien quelles soient un signe certain de I impossibilité de l’équation d’où elles dérivent (138), il peut arriver, au contraire, qu’elles fournissent la seule solution dont la question proposée soit susceptible. Les problèmes de géométrie, résolus à l’aide des méthodes algébriques,- en fournissent de nombreux exemples.

Supposons que l’on veuille mener une droite qui touche

extérieurement deux cercles donnés : si l’on prend pour inconnue la distance x du centre de la plus grande circonférence au

point oh ia droite, qui joint les centres, est rencontrée par cette tangente commune, on trouvera facilement

en désignant par d la distance des deux centres et par R et r les deux rayons. Or, si l’on suppose R = r, il vient x= ». C'est donc à dire que la tangente demandée ne rencontre pas la droite qui joint les centres et que par conséquent elle lui est parallèle. Donc, pour résoudre le problème proposé, lorsque les deux circonférences sont égales, il suffit de mener à l’une d’elles une tangente parallèle à la droite qui passe par les centres. Ainsi la valeur infinie trouvée pour x a fourni la seule solution dont le problème fût susceptible.

, 148. Problème III. Deux robinets peuvent remplir un bassin, le premier en a heures, et le second en b heures, et un orifice, pratiqué dans sa partie inférieure, peut le vider en c heures. On ouvre en même temps les robinets et l'orifice , et on propose de trouver en combien d'heures le bassin sera rempli.

Soit x le nombre d’heures cherché. Il est clair que, si de la partie du bassin qui serait remplie par les deux robinets en x heures , nous retranchons celle qui est vidée par l'orifice , dans le même temps , le reste devra être égal à la capacité du bassin.

Or, les parties du bassin qui sont remplies par chaque robinet sont proportionnelles aux temps employés à les remplir ; ainsi , en prenant la capacité du bassin pour unité, on calculera la partie y du bassin que le premier robinet remplira en x heures , en posant la proportion

On verra de même qu’en x heures lé second robinet remplira

une partie du bassin marquée par et que l’orifice en videra

une partie représentée par L’équation du problème sera donc

d’où l’on tirera facilement

abc

ac-\-bc — ab

Si l’on vent déduire de celte formule le temps qu’il faudrait aux deux robinets pour remplir le bassin, s’il n’y avait pas d'orifice, on supposera que les dimensions de cet orifice diminuent graduellement jusqu’à devenir nulles, et il est clair que c augmentera au contraire indéfiniment, et vice versa. Donc, il faudra chercher vers quelle limite tend la formule [8], lorsque e tend à devenir plus grand que toute quantité assignable. Pour y parvenir, j'observe que c entrant à la fois dans les deux termes de celte fraction , on ne pourrait pas reconnaître comment elle varie, lorsque c augmente : en conséquence je divise ces deux termes par c, ce qui donne

ab

et, sous cette forme, on voit que, c croissant sans cesse , le terme

^ diminue constamment. Or, on peut assigner à c une valeur

assez grande pour qu’il devienne plus petit que toute quantité donnée; sa limite est donc zéro ; donc la limite de la fraction [9]

est Telle est donc l’expression du temps que les deux

robinets mettraient à remplir le bassin , en coulant ensemble , s’il n’y avait pas d’orifice.

140. Ainsi, quand on voudra trouver la limite vers laquelle tend une traction lorsque l’une des quantités qui entrent dans ses deux termes tend vers l’infini , on les divisera par cette quantité, à laquelle on donnera ensuite une valeur infinie.