Il sait du résultat que nous venons d’obtenir que si

c<- le bassin ne pourra pas être rempli, puisqu’il aura

été vidé par l’orifice en moins de temps que les robinets ne mettront à le remplir. C’est ce qu’indique la formule [8] , car

de l’inégalité on tire évidemment ac-\-bc<fab ; ainsi

le dénominateur de la valeur de x étant négatif, tandis que son numérateur est positif, cette valeur est négative. Or x représente une quantité qui , dans la question actuelle, ne peut pas avoir des modes d'existence opposés, de sorte qu '-une valeur négative de x n’ayant point de sens, elle est un signe de

V impossibilité du problème, lorsque

Toutefois si l’on veut savoir de quel problème analogue à celui que nous traitons la valeur absolue de x fournit la solution, on changera x en — x daus l’équation [7], qui deviendra ainsi

xxx ’

d’où

abc

ab — ac — bc

[io];

puis on modifiera l’énoncé de manière que la nouvelle équation en soit la traduction exacte. La formule [10] résout donc celte question : Un robinet peut remplir un bassin en c heures , et deux orifices , pratiqués dans sa partie inférieure , peuvent le vider, l’un en a heures et V autre en b heures. En combien de temps sera-t-il rempli , si l’on ouvre en même temps le robinet et les deux orifices ?

g II. DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGnÉ A PLUSIEURS INCONNUES.

181. 11 arrive souvent que les problèmes renferment plusieurs inconnues, qui sont liées les unes aux autres par des relations assez faciles à saisir pour que, l’une d’elles étant connue,

on puisse facilement calculer toutes les autres; dans ce cas, le problème peut être traité comnie s'il n’y avait réellement qu’une seule inconnue. C'est ce que nous avons fait pour les problèmes qui ont été résolus aux n“ 4, iî et 134. Mais il n’en est pas toujours ainsi , et les relations dont il s'agit sont quelquefois très-difliciles à démêler; dans ce cas, il est préférable de faire entrer toutes les inconnues dans le calcul, en représentant chacune par une lettre particulière. De cette manière , on est conduit «i résoudre un système composé de plusieurs équations entre plusieurs inconnues. Nous allons examiner comment on peut y parvenir.

Ii»2. Nous supposerons d’abord que les inconnues soient en même nombre que les équations , et pour commencer par le cas le plus simple , nous nous proposerons de résoudre deux équations à deux inconnues x et y.

Quelle que soit une pareille équation , on pourra toujours la ramener à la forme

ax + by — k,

car il suffira , pour cela, après avoir fait évanouir les dénominateurs (132), s’il y en a, de transposer dans le second membre tous les termes indépendants des inconnues, et dans le premier tous ceux qui renferment ccs inconnues; puis de faire la réduction , ce qui ramènera l’équation proposée à la forme ax-\-by = k, si elle est numérique; et si elle est littérale, il n’y aura qu’à mettre x et y en facteurs communs des quantités qu’elles multiplient, pour la réduire à la forme dont il s’agit.

Soient donc

ax -}- by = k [11], '

elx-\-b'y — k [12],

les deux équations à résoudre. Il est clair que si l'on connaissait la valeur de a;, par exemple , qui , conjointement avec une certaine valeur de y satisferait à ces équations, ou n'aurait qu’à remplacer x par cette valeur dans l’une ou l’autre des équations [1 1] et [12] . et on en tirerait faoilement la valeur corres-

pondante de y, puisque cette équation étant du premier degré ne peut déterminer qu’une seule valeur de y correspondante à une valeur donnée de x. Toute la difficulté est donc ainsi ramenée à déduire des deux équations proposées une équation qui, ne renfermant pas l'inconnue y, détermine toutes les valeurs dont l'autre inconnue x est susceptible. C’est ce qu'on appelle éliminer Pinconnuey entre ces équations. L’élimination d’une inconnue entre deux équations peut s’effectuer par trois procédés que nous exposerons successivement, et qui sont connus sous les noms de méthode d'élimination par substitution, par réduction et j»ar les facteurs indéterminés.

I1S5. Métbode d’élimination par substitution. Si l’on re-

- ' ST ' 1 r ■

garde pour un instant x comme connue , on pourra tirer de

l'une des équations proposées, de la première, par exemple, la valeur de y (152),

k — ax ~b

et il est clair qu'en substituant cette valeur de y dans l’autre équation [12], l'élimination de y sera effectuée. L’équation résultante est *

et je dis que le système des équations [13] et [14] est équivalent à celui des équations [11] et [12], c’est-à-dire que les solutions de l'un, sont les mêmes que celles de l’autre. En effet, soient x= a et y=p un couple de valeurs de x et de y qui satisfont aux équations [11] et [12] : ce couple vérifiera évidemment l'équation [13] qui n’est qu’une transformée de l'équation [11],

k ~ ~ QJC

• de sorte qu’en faisant x = a la quantité — ^ — • se réduira à p ;

par conséquent, en remplaçant x par a dans l’équation [14] , on trouvera le même résultat qu’en faisant x = a et y=fi dans l’équation [12]; mais la substitution de ces valeurs a et p, à la place de x et de y dans [12] , vérifie cette équation ; donc l’équa- * tiou [14] sera aussi vérifiée, lorsqu'on y remplacera x par a.

Donc toute solution des équations [11] et [12] satisfait aux équations [13] et [14]. Je dis maintenant que la réciproque est vraie : car si x = « et y = p sont un couple de valeurs qui vérifient les équations [13] et [14], ce couple satisfera nécessairement à l’équation [11] qui n’est qu'une transformée de l’équa-

• k — (uc

tion [13]. Mais nous supposons que la fraction — r — se réduit

à p quand on y remplace x par a : donc en faisant x=> dans l’équation [14], on trouvera le même résultat qu’en remplaçant x et y par * et p dans [12]; or l'équation [14] est vérifiée par x=z, donc l’équation [12] le sera par x=a et y=p;donc les solutions des équations [11] et [12] sont identiquement les mêmes que celles des équations [13] et [14]; de sorte qu’au lieu de résoudre le premier système, il n'y a qu’à résoudre le second, ce qui est facile.

L’équation [14] ne renfermant que la seule inconnue x, on en tirera successivement (132)

ba'x + kb‘ — ab'x = bk\

{Jbd—ab')x = bk!-^kb\

bk' — kb'

X ba' — ab'

Je substitue maintenant cette valeur de x dans l’équation [13], ce qui donnera

L abk ■ — akb' bka' — akb' — abk' akb'

k bar—ab' ba' — ab'

Ën faisant les réductions, le numérateur de cette dernière expression de la valeur de y devient bka' — abk', quantité qui est divisible par b. On aura donc enfin

ka'—ak'

9 ba — ab

On ne trouve ainsi qu’un seul couple de valeurs pour x et pour y, parce que l'équation [14], qui est du premier degré

9» RÉSOLUTION DBS ÉQUAIIONS

par rapport à a*, ne peut donner qu’une seule valeur pour cette inconnue, et que l'équation [13] ne fournit, par la même raison, qu'une seule valeur pour y , de sorte que le système des équations [13] et [14] ne pouvant admettre qu'un seul couple de valours de x et de y , il en est nécessairement de même du système des équations [Jl] et [12], qui lui est équivalent.