Exbhple. Résoudre les deux équations

Zx

JL i

JL+i±

• 15^ io

Je commence par les ramener à la forme des équations [11] et [12] , et, pour cela, je fais d’abord évanouir les dénominateurs, ce qui donne

54a: — 12y — 80=l5x — lOy,

Ges équations reviennent aux suivantes :

Je tire de la première de ces deux équations

et, en substituant cette valeur de y dans la seconde, je trouve 1 15a: 78a: — 160=226, d’où a: = 2.

Je remplace x par 2 dans l’expression précédente de y, et il en résulte y = — 1,-de sorte que a: = 2 et y = — 1, forment la solution des équations proposées.

183. On pourrait encore résoudre les deux équations numériques que nous venons de considérer, à l’aide des formules générales [15] et [16]. En comparant en effet leurs transformées [17] aux équations littérales [11] et [12], on verra que, pour identifier celles-ci avec elles, il n’y aura qu’à faire

et substituer ensuite ces valeurs dans [15] et dans [16], ce qui donnera

loO. Méthode d’élimination par réduction. Si les coefficients de l’inconnue y, que nous-voulons éliminer, étaient égaux, il est évident qu’en additionnant ou en soustrayant les équations proposées, membre à membre, suivant que ces coefficients seraient affectés de signes contraires ou de signes semblables, l’élimination de y serait effectuée; Tâchons donc de rendre égaux les coefficients de cette inconnue.

Si les coefficients de y sont premiers entre eux, nous multiplierons chacune des équations proposées par le coefficient que cette inconnue a dans l'autre, et nous aurons évidemment atteint notre but.

Si les coefficients de y ne sont pas premiers entre eux, nous chercherons leur plus simple multiple ( Arithmétique , 93), et fl suffira de multiplier chaque équation par le quotient obtenu en divisant ce plus simple multiple par le coefficient que y a dans cette équation.

Supposons donc, pour fixer les idées, que b et b' soient deux nombres premiers entre eux; nous multiplierons l’équatiou [11] par b’, l’équation [12] par b, et, en soustrayant membre à membre les deux équations résultantes, on trouvera

(ab' — bct)x = kb' — bk’ [18],

et je dis qu’au système des équations [11] et [12] on peut substituer le système des équations [11] et [18]. Pour le faire voir facilement, supposons que, dans chacune des équations proposées, on ait fait passer tous les ternies dans le premier membre, et représentons par A = 0 et par A'=0, ce que deviennent ainsi les équations [1 1] et [12] : l’équation [18] pourra ainsi être ramenée à A5' — A'5 = 0, et il s’agira de démontrer que le

système des équations^, ï est équivalent à celui des équa-

lions . , . ^ ^ . Or, il est clair que tout couple de valeurs

de x et de y qui vérifiera les équations du premier système, vérifiera aussi celles du second, puisque, par la substitution de ces valeurs au lieu de x et de y, les polynômes A et A' devenant nuis, A b' — A 'b le deviendra aussi. Réciproquement, tout couple de valeurs de x et de y qui satisfait au second système, anéantissant A, ne pourra satisfaire à l'équation A6' — A'é = 0, sans anéantir k'b et par conséquent A', puisque èest un nombre; donc ce couple vérifiera les équations A = 0 et A' =± 0 du pre-

A — Oï

mier système. Donc enfin les solutions du système^, J ^ j

sont les mêmes que celles du système^,

On tirera donc de l’équation [18] la valeur de x, et, en la substituant dans l’équation [1 1], on en déduirais valeur correspondante de y. Nous n’entrerons pas dans les détails de ce calcul, qui ne saurait présenter de difficultés.

1S7. Dans la pratique, il sera souvent plus commode, pour avoir y, d’éliminer x entre les deux équations proposées, et de tirer de l’équation résultante

( ab ' — ba') y = ak’ — ko.' [19],

la valeur cherchée de y. Mais il faut alors démontrer que le système des équations [18] et [19] est équivalent à celui des équations [11] et [12]. Pour le faire le plus simplement possible, nous observerons qu’en ramenant les proposées à la forme

A =0 et A' = 0,

les équations [18] et [19] reviendront aux suivantes kb' — k'b = 0 et A'a — Aa' = 0.

D’abord il est évident que tout couple de valeurs de x et de y, qui satisfait au premier système, satisfait aussi au second. On voit ensuite que tout couple de valeurs qui vérifie les équations kl/ -r k'b = 0 et A'a — Aa' = 0 satisfait aussi à l’équation

a(kb' — k'b) -f- 6(A'a — Aa') = 0, • j

que l’on obtient en les traitant comme si on voulait éliminer le polynôme A' entre elles (186) j donc ce couple doit aussi vérifier l'équation

A(aè' — ba ') — O

à laquelle celle-ci se réduit : mais comme nous supposons expressément que ab' — ba' n’est pas nul, sans quoi on ne pourrait pas tirer des équations [18] et [19] les valeurs de x et de y, il faut que la substitution de ces valeurs dans A anéantisse ce polynôme. Par conséquent, ce même couple ne peut vérifier l’une ou l’autre des équations Ai'— A' b=0 et A'o— Ao =0 sans anéantir A'; donc il satisfait a» système A=0 et A'^=0; donc, etc.