l4y=17, d’où y=lÈl=iZ

Au lieu de substituer ainsi la valeur trouvée pour x dans l’une des équations [20], on aurait pu éliminer x entre elles (187).

102 BÉSOLimON DBS ÉQUATIONS

Le plus petit multiple des coefficients de cette inconnue étant

120, on multipliera la première équation par— - = 8 , la se-

ld

conde par = 5, et en retranchant membre à membre les équations résultantes, on trouvera

ou bien

t)Qi

l47y=294, d’où y—— — 2.

159. Il est maintenant facile de résoudre m équations du premier degré entre m inconnues. Pour cela, on commencera par faire évanouir les dénominateurs , s’il y en a, puis on transposera dans un seul membre tous les termes qui contiennent lei inconnues, et on fera passer tous ceux qui en sont indépendante dans l'autre membre, de sorte que les équations proposées seront ramenées à la forme

ax -f- by -J- es -f- du -j- . . . . = k.

Cela fait , on éliminera func des inconnues successivement entre l'une de des équations et chacune des autres, ce qui donnera (m — 1) équations entre les (m — 1) autres inconnues ; on éliminera de même une de ces (m — 1) inconnues successivement entre l’une des (m — 1) équations que l'on vient d’obtenir et chacune des autres, ce qui donnera (m — 2) équations entre les (m — 2) autres inconnues, et, en continuant ainsi, on parviendra ù 3 équations à trois inconnues , puis à 2 équations à deux inconnues, et enfin à une équation à une seule inconnue. On résoudra celle dernière équation, et on substituera la valeur trouvée , pour son inconnue , dans l’une des deux équations à deux inconnues , ce qui fera connaître la valeur d’une seconde inconnue. En substituant ensuite les deux valeurs trouvées , dans l’une des trois équations à trois inconnues, on obtiendra la valeur d'une troisième inconnue, puis on trouvera de la même manière celte d’une quatrième inconnue, et ainsi de suite en remontant.

DU PREMIBR DEGRÉ.

Pour justifier cette règle, il suffit de démontrer que lo système des équations proposées est équivalent au système formé de l’une d’elles, de l’une des (w — 1) équations à (un — y inconnues, de l’une des (m — 2) équations à (m — 2) inconnues,.... de l’une dès deux équations à deux inconnues, et enfin de l’équation à une seule inconnue. Supposons, pour le faire voir, qu’on ait fait passer tous les termes dans le premier membre , ce qui réduira le second à zéro , et représentons les équations résultantes par

Je suppose, pour fixer les idées, que l'on effectue l’élimination de l’une des inconnues entre l’équation A=0, et chacune des autres, par la méthode de réduction, et j’appelle a. a,, a,,.... a» i, les coefficients de cette inconnue dans les proposées. Les (m — l)équationsà(w — 1) inconnues, qui proviendront de cette élimination , seront ainsi représentées par

Afl| — A1o = 0, Aa. — A,a=0;. ... A<wt — A«,ia=0 [22],

et je dis qu'au système des équations [21], on peut substituer le système

A=0, A«i — A,a = 0; Aa, — A*a=0*

formé de l’une des proposées et des ( m — t) équations qu’on vient d'obtenir. Il1 est évident en effet que tout système de valeurs des inconnues qui satisfait aux équations [21] satisfait aussi aux équations [23]; réciproquement, tout système de valeurs des inconnues qui vérifie les équations [23], devant anéantir les polynômes A et Aaj — A ,o, \a,— A,a,. . . . Aa^-i— Am,e, devra nécessairement réduire A,, Aj,. . . . 'A„, à zéro, car a n’est pas nul ; donc le système [23] est équivalent ausystèine[21]. Si maintenant on élimine une des inconnues qui entrent dans les équations [22] entre l’une d’elles et chacune des autres, on obtiendra ( m — 2) équations à (m— 2? inconnues

B=0, Bi=0, Bi=6 Bi,j=0,

et on prouvera , comme tout à l’heure , que le système des équaüons [22] peut être remplacé par celui des équations

Au,— A,a==0;B=0, B,=0,.... B^=0,

et que, par conséquent, celui des équations proposées est équivalent au système des équations

A=0, A«i — Ata=0, B=0, B,=0,. .. . B„,— 0,

et en continuant ainsi, on parviendra à démontrer la proposition que nous voulons établir.