Exemple I. Résoudre les équations

il i y

Je fais évanouir les dénominateurs, je transpose, et il vient

J’élimine actuellement * entre la première et la seconde, ce qui se fait en multipliant l’une par 6 , l’autre par 4 , et en les retranchant membre à membre; puis entre la seconde et la troisième, et pour cela je multiplie la seconde par 6, la troisième par 5, et je retranche ensuite les deux équations résultantes membre à membre. De cette manière je remplace le système des équations proposées par le système suivant :

— 2y -fl31*= 125.

L’élimination de y entre les deux dernières donne 9831* =9831, d’où * = 1.

En substituant cette valeur dans la troisième des équations pré-

cédentes, on trouvera y = *?>- 12^ = 3, et enfin, au moyen

de la première, on obtiendra 3 pour valeur de x.

Exemple II. Résoudre les équations

lOy — 3 a-f3u — 2t> = 2,

Comme la première de ces équations est la seule qui renferme les cinq inconnues, nous allons tâcher d'éliminer une d’elles, v par exemple, entre la première et les trois dernières, et nous pourrons ainsi remplacer le système des équations proposées par le système formé des trois équations ainsi obtenues, de la seconde et de l’une des autres. J’élimine donc v successivement entre la première et la dernière, entre la troisième et la quatrième, et entre la quatrième et la cinquième, de sorte que je substitue au système des équations données, le suivant :

7x — 6y + 3a=l7, lOy-f 2a + 7u— 2* = 5,

15a -f- 24m -j- 2x— 4y = 21 , lOy — 3a-j-3u — 2v= 2.

Comme la seconde de ces équations ne renferme que x, y et a, j’éliminerai u successivement entre la première et la troisième, et entre la première et la quatrième , et je formerai ainsi le système d’équations

.3* — 5y -f- 2a — 4m =11, lOy — 3a -f- 3a — 2v— 2.

J'élimine actuellement a entre la première et la troisième.

106 RÉSOLUTION DBS ÉQUATIONS

puis entre la seconde et la troisième , et j’obtiens le nouveau système

Enfin, en éliminant y entre les deux premières de ces équations, le système proposé sera remplacé par le suivant

402 la- =

d’où <; s = 3

Exemple II L Résoudre les équations

J’élimine y successivement entre la première et la seconde, et entre la première et la quatrième, ce qui me fournit le système

J’élimine actuellement s entre la première et la troisième, puis entre la première et la seconde ; mais le résultat de cette seconde élimination est l’égalité absurde

donc il n’y a aucun système de valeurs dë a?, y, s, «, qui puisse

vérifier le système proposé, car, s’il y en avait, il faudrait que ces valeurs de x , y , b , u, pussent vérifier cette équation

Au reste , on reconnaît facilement l’incompatibilité des équations par lesquelles on a remplacé le système proposé, car en divisant la seconde par 3 , il vient

M+ - — 2u=3t a + 2« — 3x= — 7, îx -f- 3y — 4b = 3 ;

or il est évident que si les équations proposées admettaient une solution, celles-ci en admettraient aussi une,' et il faudrait pour cela , que 2 x-\- z — 2m fût à la fois égal à 7 et à 3 , ce qui est absurde.

ICI, Nous avons supposé, jusqu'ici , que l’on avait autant d’équations que d’inconnues : mais, si l’on n’en avait pas le même nombre , qu’arriverait-il ?

Supposons que l’on ait moins d’équations que d’inconnues, et , pour prendre d’abord le cas le plus simple, que l’on ait une seule équation à deux inconnues,

ax'- }- by — k

Si , -en regardant y comme connue, on résout cette équation par rapport à x , on en tirera

et si l’on substitue cette expression de x dans la proposée r il. est clair que l’équation résultante se réduira à une identitét 12 1), de sorte qu’elle sera vérifiée sans qu’il soit besoin d’assigner aucune valeur particulière à y. On pourra donc donner à cette ineonnue telle valeur qu’on voudra, et la substitution dans az-\-by=k, de cette valeur et de la valeur correspondante dfe

fc — fry *■

x, déterminée par la formule x= — -, vérifiera cette équation, qui admet ainsi une infinité de solutions.

Supposons maintenant que l’on ait m équations entre m-\-n inconnues. Si l’on regarde n quelconques de ces inconnues comme déterminées, on pourra déduire des m équations proposées les valeurs des m autres inconnues , en fonction des n premières, et il est évident qüe si l’on substitue les fonctions ainsi trouvées dans les m équations , les équations résultantes seront des identités, de sorte qu’elles seront satisfaites d’ellesmêmes et par le seul jeu des signes, et cela indépendamment d’aucune hypothèse particulière faite sur les valeurs des n premières inconnues. Donc, quelques valeurs arbitraires qu’on leur assigne, les valeurs correspondantes des m autres inconnues satisferont toujours aux équations proposées conjointement avec elles. Donc ces équations admettent une infinité de systèmes de valeurs pour les inconnues quelles renferment ; donc elles sont INDÉTERMINÉES.