Exemple I. Résoudre les deux équations

Mx -f- 3y — 4s 2 u = — 6 , ■

Ax — 3ÿ -|- 23 — 3u = 7.

Je regarde z et u comme des quantités connues, et je tire en conséquence de ces deux équations les formules

2s + «-fl - 10= — 7u— 19

de sorte qu’en donnant à s et à a des valeurs arbitraires quelconques, on en déduira des valeurs correspondantes pour x et . pour y. Si l’on suppose , par exemple, s = 3 et « = — 1 , cm trouvera que x= 1 et que y— 2. Ainsi, les équations proposées

admettront la solution - .'■*.• '

On en trouvera de même autant d’autres que l’on voudra.

Exemple 11. Bésoudre les équations

2x -j- 3y — As = 3 ,

En éliminant y entre la première efla deuxième de ces équations, puis, entre la première et la quatrième, on pourra remplacer leur système par le suivant :

Mais je remarque que la deuxième équation de ce système étant le produit de la première par 3, si on divise tous ses termes par 3 , on retombera sur cette première. On n’a donc ainsi que les trois équations

entre les quatre inconnues x, y , z , u, de sorte que le système proposé est indéterminé. Si on veut en trouver des solutions, on éliminera u entre la première et la deuxième , ce qui donnera

On tire de la première x = 2s , et en substituant cette valeur

dans les deux autres, elles donnent u = ~7^~5z et y= 1 ;

ainsi en faisant, par exemple, z s — 1, on aura x — — -2 et u — — 6; de sorte que x = — 2, y—\ , z=— >l et u— — 6

forment une solution des équations proposées. Si on fait

z — 1 , on trouvera un autre système de valeurs , savoir :

x — 1, y= 1 , 2 — 1 et u — — 1 ,

etc., etc.

165. On voit, par cet exemple, qu’un système d'équations peut être indéterminé, quoique le nombre des inconnues ne soit pas supérieur à celui des équations; mais aussi une de ces équations est une conséquence de deux ou de plusieurs des autres. Ainsi la quatrième a été formée en ajoutant membre à membre les équations obtenues en multipliant la première par 2 et la deuxième par — 3.

164. Si l’on a plus d'équations que d’inconnues, par exemple, (m -)- n) équations entre m inconnues, les équations proposées sont en général incompatibles ; car, pour qu’un système de valeurs des»; inconnues puisse satisfaire aux équations proposées, il faut èt il suffît , qu’en tirant ces valeurs de m quelconques des équations proposées, et en les substituant dans les n autres, c’est-à-dire en éliminant les m inconnues entre les équations proposées , les équations résultantes soient satisfaites d’ellesmêmes et par le seul jeu des signes. Or, on conçoit que cela n’aura pas lieu , si les équations proposées ont été prises au hasard.

Mais si les (;«-}-») équations à m inconnues renferment des coefficients indéterminés , on pourra se proposer d’assigner les conditions que doivent remplir ces coefficients pour que les équations proposées soient compatibles. Il suffira évidemment, d’après ce que nous venons de dire, d’éliminer les m inconnues entre les (m-\-ri) équations, et les équations résultantes exprimeront les conditions demandées. Si le nombre des coefficients indéterminés est n, on aura précisément n équations pour les déterminer; s’il est plus grand que'», on pourra disposer arbitrairement de plusieurs d’entre eux ; mais s’il est moindre que n, lœ équations de condition seront en général incompatibles, et par conséquent les proposées le seront aussi.

i6S. Exemple. Déterminer a, b, c, de manière que les quatre équations , '

.. .... (uc-j-2q = — 1,

a: — by — 2 ,

2ax + cy — — 2,

soient compatibles.

On tirera des deux premières

~ab-\- 2’ >J~ ab -f-21

on substituera ces valeurs de x et de y dans les deux autres, et .il viendra, après avoir fait évanouir les dénominateurs,

Nous n’avons donc que deux équations pour déterminer a, b et c, de sorte qu’on pourra disposer arbitrairement de l’up de ces coefficients. En éliminant c entre ces deux équations, il viendra

12a! -f 8a*6 -J- 8ab -f 1 2a -f 2b + 3 =0,

d’où l’on tire

et en faisant a = — 1, cette formule donnera b= — f , et par suite on trouvera c=4. Ainsi, les équations proposées deviendront - - .

x.+ly=2

qui effectivement sont compatibles , ainsi qu’il est facile de le vérifier, en tirant de deux de ces équations les valeurs de x et de y, et en les substituant dans les deux autres, ou mieux encore en divisant tous les termes des deux dernières par 2.

112 » RÉSOLUTION DBS ÉQUATIONS

166. Problème I. Hiéran, roi de Syracuse, avait donné à un orfèvre 20 livres d'or, pour faire une couronne qu’il voulait offrir à Jupiter. La couronne se trouva peser effectivement 20

livres; cependant le roi soupçonna l’orfévre d’avoir soustrait une partie de l’or qu'il lui avait remis, et il pria Architnède de vérifier la chose, sans endommager la couronne. Ce grand géomètre détermina le poids spécifique de la couronnent trouva 16 pour sa valeur, tandis que celui de l’or est 19,64. Il en conclut aussitôt que la couronne était formée d'or allié à un métal moins dense. La facilité avec laquelle l’argent s'allie • avec l'or lui fit soupçonner que l’argent était cet autre métal. Or, le poids spécifique de l'argent étant 10,5, Archimède en conclut que la couronne était composée de 14‘,77 d’or et de 5',23 d’argent, ce dont l'orfèvre convint. Trouver comment Archimède a pu découvrir cette composition de la couronne.

Le poids spécifique d’un corps est le rapport du poids d'un volume quelconque de la substance de ce corps à celui d'un pareil volume d’eau ; d’ où il suit qu'en divisant le poids d’un certain volume d’un corps par son poids spécifique, on obtiendra ce volume.

Cela posé, soient x et y les poids des quantités d’or et d’argent qui entraient dans la couronne, on aura immédiatement l’équation

On voit ensuite que 19,64 étant le poids spécifique de l’or,

g . sera le volume occupé par l’or qui entrait dans la cou-

lVjOl

ronne ; que de même représente le volume dq l’argent

qu’elle renfermait, et que ^ était le volume de la cou-

lo 4

ronne. On aura donc la seconde équation

ou, en faisant évanouir les dénominateurs,

Il ne s’agit plus que de résoudre le système formé de cette équation et de la première x -j- y = 20. En effectuant les calculs on' trouvera facilement que

et que

167. Problème II. Un homme s' est chargé de transporter des vases de porcelaine, à condition de payer autant, pour chaque vase qu'il casserait, qu'il recevrait pour celui de mêmes dimensions qu’il rendrait en bon état. On lui donne d'abord 2 petits vases, 4 moyens et 9 grands : il casse les moyens, rend tous les autres intacts et reçoit 28f. — On lui donne ensuite 7 petits vases , 3 moyens et 5 grands; il rend les moyens et les petits en bon état : mais il casse les grands et ne reçoit que 3f . — On lui remet enfin 9 petits vases, 10 moyens et 11 grands ; il casse encore tous les grands, rapporte les autres en bon état et reçoit 4f. On demande combien on a payé pour le transport d'un vase de chaque grandeur.

Je représente par x, y, et - les prix respectifs du transport d’un petit vase, d’un moyen et d’un grand. 11 est évident- que notre homme aura reçu l’excès de ce qui lui ést dû pour les vases qu’il remet en bon état, sur ce qu’on lui retient pour ceux qu’il casse, de sorte que, dans le premier cas, où il casse les moyens et remet les autres intacts, il doit recevoir 2ar-f-9z et payer 4y ; donc

On verra de même que, pour les deux autres circonstances du problème, on aura les équations'

7x+ 3 y- 5*=3, et ^ 9^ + l0y— 113=4.

En résolvant ces équations, on trouvera qu’on a payé 2* pour

le transport d’un petit vase, 3f pour celui d’un moyen, et 4f pour un grand.

168. Méthode d’élimination de Bezout ou par les facteurs indéterminés. Bezout a donné une troisième méthode d’élimination dont on fait usage, même dans la haute analyse, et qui a l’avantage de faire évanouir à la fois toutes les inconnues moins une. Pour en bien faire saisir l'esprit, nous allons l’appliquer successivement à un système de deux équations à deux inconnues, puis à trois équations à trois inconnues, et nous généraliserons ensuite.

Soient donc les équations

ax-\-by=k [11],

ttx+b'y=k! [12];

je les multiplie respectivement par deux facteurs indéterminés m et m\ et j’ajoute membre à membre les équations résultantes; il viendra

(am -f- a'iri)x -j- {bm -j- b'm')ij — km-\-k'm' [24] .

Comme les (acteurs m et m' sont indéterminés, nous pourrons en disposer de manière à rendre nul le coefficient de l’inconnue que nous voudrons éliminer, de sorte que si cette inconnue est x, il faudra poser

am 4- a'm' = 0 [25];

de cette manière, l’équation [24] se réduira à

bm 4- b>m')>j =km -f kJm\ d’où y = r”~

' • bm-j-bm

Ainsi, pour avoir la valeur de y, il n’y aura qu’à remplacer, dans cette dernière formule, m et m' par un couple de valeurs qui vérifient l’équation [25].

Mais cette équation est indéterminée, puisqu’elle renferme deux inconnues (161); nous allons donc regarder, pourun instant, m ' comme connu, et nous en tirons m= — — . Pour cha-

que valeur donnée arbitrairement à m\ cette formule nous fera

^ . tf *

connaître une valeur correspondante de m ; mais pour éviter les fractions, nous poserons m' = o, et il en résultera ;«= — a'; *

de sorte que la valeur cherchée de y sera *

ak' — ka' y <ib' — ■ ba!

Il est évident qu’en disposant de m et de m' de manière à rendre nul le coefficient de y dans l’équation [24], on parviendra è déterminer la valeur de x, et on trouvera, en faisant les calculs.

kb' — bk' X ab' — ba!

11 s’agit actuellement de justifier cette méthode d’élimination. Supposons, comme précédemment, que l’on ait fait passer dans le premier membre tous les termes de chacune des équations proposées, et représentons par

A = 0 - et par A' = 0 ,

les équations résultantes. Si nous désignons par n et par n' les valeurs qu’on a dû attribuer à m et à m' pour rendre nul le coefficient de a; dans l’équation [24] , et par p et p' celles qu|il a fallu attribuer à ces mêmes indéterminées pour faire évanouir le coefficient de y ; les valeurs [16] et [15] de ces deux inconnues y et x auront été déduites des deux équations

A»-|-A'n'=0 et kp k'p' = 0 [26],

de sorte qu’il s’agit de démontrer que ce second système d’équations est équivalent au premier A = 0 et À' = 0.

Or, il est évident que tout couple de valeurs de x et de y, qui vérifie les équations A =. 0 et M= 0 vérifie aussi les équa tions [26]. Pour démontrer la réciproque, je traite ces équa-

* U n’est pas inutile d’observer que le rapport de m à m' est constant , d’où il résulte que y n’a qu’une seule valeur, quoique m et m'en admettent une infinité , parce que la formule

km + kW .

' = bn+-vX reV,enta ÿ =

lions [26] comme si A' était une inconnue que je veuille en éliminer, ce qui donne (150)

p' (An -f- AV) — ri (A p -f- A'p') = 0.

Tout couple de valeurs de a; et de y qui vérifie les équations [26] vérifie évidemment celle-ci, c’est-à-dire l’équation

A (np'—pn')= 0,

à laquelle elle se réduit. Et comme nous supposons expressément que np' — pri n’est pas nul’, il s’ensuit que ce couple anéantit A; donc il anéantit aussi A', en vertu de l’une ou de l’autre des équations [26] ; donc enfin les solutions des équations A = 0 et A' = 0 , sont identiques avec celles des équations An+AV = 0 et kp -f A'p' = 0.

109. Considérons maintenant le système de trois équations à trois inconnues,

ax -\-by -j- es = k \

Je les multiplie respectivement par les facteurs indéterminés m, tri, tri', j’ajoute membre à membre les équations résultantes et je trouve

m' -\-ri'tri')x-\-{bm-\-b'm' -\-b''rri’)y-\-{cm-\-c'm' -\-c''tri')s =km+kJm'+kJ'm!1 . [28]..

Si nous voulons obtenir la valeur de z , il nous faudra disposer des indéterminées m, tri, m" de manière à rendre nuis les coefficients des deux autres inconnues x et y, c’est-à-dire poser

am = 0 , bm-\-b'm'-\-b"iri'=Q [29],

ce qui réduira l’équation [28] à [cm^c'tri-\-ri'fri')z=km-\-k?m-\-K'fri, d’où z=^ m~p*, m,

* Les valeurs de n el de n' sont , d’après ce qui précède, — o' et a , et celles de p el de p' sont — V et 1» , de sorte que si on avait np' — pn'= o , ab’—ba' serait nul, el nous avons exclu formellement ce cas-là (137).

de sorte que pour avoir z, il ne s’agit que de substituer dans , cette dernière formule à m, m' et m" leurs valeurs tirées des équations [29]. Pour obtenir ces valeurs , nous regarderons , pour un instant, ni' comme connue , et nous appliquerons à la résolution des équations [29] les formules générales [15] et [16], comme nous l’avons indiqué précédemment (IBB). En comparant les équations [29] aux équations [11] et [12], nous verrons que pour les identifier avec elles , il suffira de poser

x=m, y—m', b=a' , k= — o"m", a'=b, k'= — b“tn",

de sorte qu’en substituant ces valeurs dans les formules [15] et [16] , on trouvera

{<ib',—b'a!')m!' , (ba'' — ab")m"

m ab' — ba' ’ m ab' — bd

Mais le facteur ni' étant encore indéterminé, nous pourrons, pour rendre entières les valeurs de m et de m', l’égaler à leur dénominateur commun r ce qui donnera

m''=ab' — ba', m=a’b‘ — b’ a", ni— bd' — ab", et par suite

ko! If — h b' a" -f bk’a" — ahJW -f ab'k"— ba'k "

S — ca't/' — cb'a"+ bc’a!’— ac'b" -f ab'd'— ba'c"’ v

11 est évident que si , au lieu d’égaler à zéro les coefficients de a; et de y, on égalait à zéro ceux de x et de s , on obtiendrait , par un calcul semblable au précédent , la valeur de y , et qu’on trouverait ensuite celle de x , en posant

bm -f b' ni b"m" = 0 , cm -f- c'ni -f d’m" — 0.

Mais, dans le cas actuel, où les équations proposées sont littérales , on peut avoir bien plus rapidement les valeurs de y et de x. Il suffit, pour cela, d’observer que si l’on permute y et s, b et c , et que l’on conserve les accents , les équations [27] ne seront pas altérées , et que par conséquent le calcul qui donnera la valeur de y ne différera de celui qui a conduit à celle de z que par ce seul échange des lettres b et c l’une dans l’autre. On per-

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS mutera donc b et c dans la valeur de z , et on obtiendra ainsi la valeur de y. On trouvera de même celle de x en permutant a et c dans l’expression de z.

Les formules qui résolvent les équations [27] sont donc

kb'c" — hc'b" -f ck'b" — bk'cT + bc'k" — cb'k" .

X ~ ab'c" — ac'tf 4 ca'b" — ba'c" + bc'a1' — cb'a" j

aK<? — ae'k" 4 caW — ka'c" 4 kt'a"— ck'a" [ ron1 y ~aVc" — ae'b" 4 ca'b''— ba'c" 4 W'— cb'a" j L<1 J ab’k' — akJb" + ko! y— ba!k‘+bk'<f—kb'd’ \

“ ab'c" — ac'b" 4 ca'é" — ba c" 4 bc'a" — cb'a' ]

Dans les valeurs trouvées pour x et pour y, d’après la méthode que nous venons d’indiquer, on a changé les signes des deux termes, afin de leur faire acquérir le même dénominateur qu’à la valeur de z.

170. 11 est maintenant facile de voir que pour résoudre m équations entre m inconnues, il faudra multiplier chacune d'elles par un facteur indéterminé, et ajouter membre à membre les équations résultantes ; on obtiendra ainsi une équation qui renfermera les m inconnues et les m coefficients indéterminés. On égalera ensuite à zéro les coefficients que les (m — 1) inconnues que l’on voudra éliminer auront dans cette équation , ce qui permettra d’en tirer la valeur de l’inconnue restante, en foric-

. tion des facteurs indéterminés. Pour avoir les valeurs de ces facteurs, on regardera comme connue l’une des m indéterminées, puis, à l’aide des formules trouvées précédemment pour résoudre (m — 1) équations à ( m — 1) inconnues, on tirera des (m — 1) équations de condition , auxquelles on les a assujetties , les valeurs des (m — 1) inconnues qu’elles renferment, en fonction de la mmt, et pour rendre ces valeurs entières , on égalera cette jnrae indéterminée à leur, dénominateur commun. Enfin, il n'y aura plus qu’à substituer les valëurs de ces tn indéterminées dans l’expression de l’inconnue que l’on a conservée, et on obtiendra sa valeur.