Bezoul n’employait que (ra— 1) indéterminées; ainsi

il multipliait (m — 1) des équations proposées chacune par un facteur indéterminé, et de la somme des équations résultantes il retranchait la m°" des proposées. Cela était suffisant, car, en égalant à zéro les coefficients des (m — 1) inconnues que l’on veut éliminer, on forme un système de(»i — 1) équations entre (m — 1) inconnues, et un pareil système est en général susceptible d'une solution. Ce qui nous a engagé à employer, avec M. Gergonne, m indéterminées, c’est d’abord parce que les cal culs deviennent ainsi plus symétriques; ensuite parce qu’on peut faire en sorte que les valeurs des indéterminées soient entières , et enfin parce qu’il y a des cas où la méthode de liezout est en défaut. •

Soient, par exemple, les équations *

2x + 4y—z = 5, 5x-f-10y — 2-=13, Ax— 2y-f z=3

si , pour déterminer z , on leur applique la méthode même de Bezout, on posera les deux équations de condition

2m-(-5»i' — 4 = 0, Am -)- 10m' +2 = 0 ,

équations évidemment incompatibles, car la seconde se réduit à 2/fl+5/»'-f- 1 = 0. Il faudrait alors recommencer le calcul., en multipliant la première et la troisième par m et par m'.

Mais si l’on applique la règle du n° 170, on posera les équations de condition . •

2 m -f- 5m'+4m"=0, Am-\- 10w»' — 2m"=0.

Cette dernière se réduit à 2m-(-5»i' — »?"=0, d’où l’on voit que, pour qu’elle puisse s’accorder avec la première, il faut . que m"=0. Les deux équations se réduisent alors à une seule 2i»-|-5»i' = 0, desquelles on tire m = — 5 et m'— 2.

179. En examinant avec soin les formules [15] , [16] et [30fJ, et se laissant ensuite guider par Y induction. Cramer a trouvé une règle pratique pour construire, sans calcul, les formules qui résolvant un nombre quelconque d’équations entre pareil nombre d’inconnues.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS Soient les m équations à m inconnues

ax -\~by -fc~ -frf/ -f.,..-fÿt> =A

atx -fft,y -fo= -frf,/ -f -f</,u =A,

(IfX -f&iÿ -fc«- -frft/ -f....-fÿ;V =A‘«

o^-i-^-f ^i»-iy-|-c«-i--frf«-i^-f ? • • • -fÿ«*-iu=Am i

1* à /a rfroi/e rf« coefficient a de la première inconnue , tenues celui b de la seconde; intervertisse: l'ordre des lettres et interpose z le signe — entre les deux produits ab et b&; vous formerez ainsi le binôme

ab — ba.

A la droite de chacun de ses termes , écrivez le coefficient c de la troisième inconnue , et faites passer ensuite ce coefficient par toutes les places, èn allant de la droite vers la gauche , et en ayant soin de changer de signe chaque fois que c changera de place; vous formerez ainsi le polynôme de trois lettres

abc — acb -\-cab — bac -f bca — cba.

Écrivez de même le coefficient d de la quatrième inconnue à là droite de chacun des termes de ce polynôme; puis faites-le passer successivement par foutes les places, en ayant soin de changer de signe chaque fois que d changera de place; vous trouverez

abcd — abd»-\- adbc > — dabc — aebd -f aedb — .... ;

et vous continuerez ainsi jusqu'à ce que vous ayez employé le coefficient de la ni"’ inconnue. Donnez alors, dans chaque terme du polynôme que vous aurez formé de cette manière , l'indice 1 à la seconde lettre, l’indice 2 à la troisième, f indice 3 à la quatrième, etc., et vous obtiendrez le dénominateur commun des valeurs de toutes les inconnues.

2* Pour obtenir le numérateur de chacune, remplaces, dans le dénominateur commun, le coefficient de l’inconnue que vous cherchez par le terme connu , en conservant <t ailleurs les indices.

En appliquant cette règle aux équations [11] et [12, puis aux équations [2/] , on trouvera les formules qui les résolvent,

si ce n’est que les accents seront remplacés par des indices.

175. Nous allons donner la démonstration de cette règle de Cramer, en modifiant légèrement celle que M. Gergonne en a donnée, d’après Laplace, dans ses Annales de mathématiques.

Si, dans un mot composé des m premières lettres a, b , e,... g, et dans lequel chacune n’entre qu’une fois , deux lettres sont disposées dans un ordre contraire à celui qu’elles suivent dans l’alphabet, nous dirons que ces deux lettres forment une inversion, et que ce mot présentera autant d’inversions qu’il y aura de systèmes de deux lettres qui satisferont à cette condition. Ainsi, dans le mot cgfbead, la lettre c, qui précède les lettres b et a , forme une inversion avec chacune d’elles, et il y a quatorze inversions dans ce mot.

174. 1" Principe. Dans le polynôme qui doit servir de dénominateur commun aux valeurs des m inconnues, et que, pour abréger, je désignerai par R , les termes positifs présentent un nombre pair d'inversions , et ceux qui sont négatifs en ont un nombre impair.

On vérifie immédiatement la vérité de ce principe , pour le polynôme de deux lettres

ab\ — bü\ ,

car on considère zéro comme un nombre pair. En conséquence, je vais démontrer que, si cette loi est vraie pour un polynôme de n lettres, elle le sera aussi pour le polynôme de (n+1) lettres, formé d’après la règle du n° 172 1°, et j’en conclurai qu’elle est générale, puisqu’ayant été vérifiée pour le polynôme de 2 lettres, elle sera Vraie pour celui qui en renfermera 3 , et , l’étant pour celui-ci , elle sera aussi vraie pour le polynôme de 4 lettres , et ainsi de suite.

Pour former le polynôme de (n-f-l) lettres, il faudra écrire la (n-|- 1)““ lettre, que j’appellerai e, à la droite de chacun des termes du polynôme de n lettres, ce qui n’altérera pas le nom-

bre des inversions de ces termes, puisque e suit, dans l’ordre alphabétique, toutes celles qui entrent dans ce polynôme; puis on devra la faire passer successivement par toutes les places , en ayant soin de changer de signe à chaque changement de place de e ; or, lorsque cette lettre avance d’un rang vers la gauche , le nombre des inversions de chaque terme augmente d’une unité et change par conséquent d’espèce ; c’est-à-dire devient impair ou pair s’il était pair ou impair; mais le signe de ce terme change en même temps; donc si la loi était vraie pour le polynôme de n lettres , elle le sera aussi pour le polynôme de (»-{- 1) lettres. Donc elle est générale.

17i>. 2* Principe. Le polynôme R se réduira à zéro, si l’on remplace une quelconque des lettres qui y entrent par une autre lettre , en conservant les indices tels qu’ils sont. Ainsi le polynôme de deux lettres »

ab, — ba, devient bb{ — bbl = 0, lorsqu’on y remplace a par b.

J'observe que, d’après la règle par laquelle nous l’avons formé ( 172 , 1°), le polynôme R doit renfermer tous les termes que l’on obtiendra en échangeant entre elles , de toutes les manières possibles, les lettres a, b, c,.... g; de sorte que s’il y a un terme dans lequel les lettres b et d, par exemple, aient les indices respectifs p et S, il yen aura un autre ....d^....bt....* où ces lettres auront, au contraire, la première, l’indice o et la seconde , l’indice 8 (la seconde lettre de chaque terme porte l’indiée 1 ; la troisième, l’indice 2; la quatrième, l’indice 3, etc.). Alors, il est évident que si l’on remplace b par d, ce s deux termes deviendront identiques en valeur absolue, puisqu’ils seront alors composés des mêmes lettres, affectées des mêmes indices ; si donc je prouve qu’ils ont des signes contraires, ils s’entredétruiront, et comme il en sera évidemment de même de tous

* Ces points tiennent la place de toutes les autres lettres qui sont communes aux deux termes que nous comparons.

Dr PREMIER DEUnÉ.

les autres termes de R pris deux à deux, il sera prouvé que ce polynôme se réduira à zéro, lorsque l’on y remplacera b par d. Or, le terme; . , •

se déduit du 1" .... bt....d»....,

en y permutant d et b. Mais, pour faire cette permutation, on pourra transporter la lettre 6 à la droite de la lettre d , puis amener celle-ci à la place où b était d’abord. De cette manière, s’il y avait n lettres entre bf et d% , la lettre b aura passé par (»-|- 1) places, et la lettre d en aura occupé n, ce qui fait en tout (2n-f- 1) changements de place. Or, quand on permute une lettre avec sa voisine, le nombre des inversions diminue ou augmente d’une unité, selon que ces deux lettres formaient une inversion ou qu’elles n’en présentaient pas; donc ce nombre change d’espèce ; donc, en passant du premier terme au second, le nombre des inversions de ce premier terme a changé un nombre impair de fois d’espèce, et par conséquent si le premier présente un nombre pair ou impair d’inversions, le second en aura un nombre impair ou un nombre pair; donc ces dpux termes ont dessignes contraires (I7d); donc, lorsqu’on y remplacera b par d , ils s'entre-détruiront ; donc R deviendra nul.

176. Ces principes établis, il va être facile de démontrer la règle de Cramer. J’observe d’abord que R renfermant chacune des m lettres a, b , c...g avec les indices 1,2, 3...(wi — 1), on pourra ordonner ce polynôme par rapport aux indices de l’une quelconque de ces lettres, par rapport aux indices de a, par exemple, ce qui le mettra sous la forme

R = An 4- A, a, 4* A ,a, -f- .... — J— Am t am,.

Si R ne renfermait que les trois lettres a, b, c, on aurait R = abtC, — acyb, -f- raA — batCt -f- b(\a, — cb^t,,

et en mettant a, Oi, Oj en facteurs communs, il viendrait

R = (éiCj — c, ô») n -f- (cb, — bct) a, -{- (éc, — cb, ) n, ,

124 RÉSOLUTION DBS ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ, de sorte qu'ici A,. At, A, représenteraient respectivement les binômes V« — cA, cb% — Ac», bct — cbt. •

Cela posé, multiplions la première des équations [31] par A, la deuxième par A, , la troisième par Ai,... la m"' par A„i, et ajoutons membre à membre les équations résultantes , il viendra

y4-Ac

v=kk