DISCUSSION

finies de x et de y, et qu’en conséquence ces équations sont incompatibles. Mais nous ne savons pas si ces formules conviennent au cas où ab' — ba'= 0, puisque, pour les obtenir, nous avons supposé que ce binôme ab' — ba' n'était pas nul. Pour lever cette difficulté, il faut écrire dans les équations [1] que

ab' — ba' = 0 [3],

et si nous trouvons que ces équations expriment alors des conditions contradictoires, nous en conclurons que les formules [2] sont applicables au cas que nous examinons, puisqu'elles nous indiquent ce qui a effectivement lieu, l’incompatibilité des équations [11.

ba!

De l’équation [3], je tire b' = — , et je substitue cette valeur dans la deuxième des équations [I], ce qui exprimera dans cette équation la condition [3] * ; il viendra ainsi

. . i ka' V

ax+—’J=K,

d’où, en chassant le dénominateur et divisant ensuite par a',

ax + by—-^-.

de sorte que les équations à résoudre sont ax by — k,

. * ak' ax+by=-^r.

Mais quelque valeur que l’on donne à x et à y, jamais ces deux équations ne pourront être vérifiées en même temps, puisque leurs premiers membres sont identiques et que les seconds sont

ak'

différents, car si on avait k=-^-, il en résulterait ak' — Aa' = 0, ce qui n’est pas.

Donc les formules [2] s'appliquent au cas où ab1 — ba' = 0.

* Car si 6'= — , il s’ensuit nécessairement que 06' — &a'=0.

en ce sens qu’elles indiquent l'incompatibilité des équutions [1].

179. Supposons actuellement que l'on ait à la fois ab' — ôa'=0 et kb' — bkJ=, 0, la valeur de x se réduira à g et celle de y semblera devenir infinie ; mais il est facile de voir qu’elle se réduit aussi à g. En effet, des équations de condition

ab' — ba' — O et kb' — bü = 0, on tire facilement

-, = ~ = p, d’où ak' = ka'. et ak! — ka' = 0. a b k

Ainsi, les valeurs dé x et de y deviennent toutes deux g. En conclura-t-on que ces inconnues admettent une infinité de valeurs? Non ; car, d’abord nous ignorons si les formules [2] conviennent aux hypothèses que nous avons faites, et, en second lieu, nous avons prouvé qu’une fraction, qui se présente sous la forme g, peut n’êtrc pas indéterminée^ 1 40) . Nous allons donc écrire dans les équations [1] les conditions

ab' — bal = 0 et kb’ — bk' = 0,

et nous verrons ce qui en résultera. Mais ces conditions reviennent à la suite de rapports égaux

si donc nous représentons par m la valeur commune de ces rapports, il viendra

a — ma', b = mb', k = mk', et en conséquence la première des équations à résoudre est ma'x — m b'y= mk',

qui, n’étant que le produit de la deuxième par tn , se réduit à cette seconde, par la suppression de ce facteur m. On n’a donc ainsi qu’une seule équation entre les deux inconnues x et y, et par conséquent ces inconnues sont indéterminées.

Donc lorsque l’une des valeurs de x et de y, données par les