DISCUSSION
formules [2], se -présentera sous la forme g, on devra en conclure 1» que celle de l’autre se présentera aussi sous la même forme g; 2° que ces inconnues sont indéterminées.
180. Cette conclusion ne souffrira jamaisd’exception, lorsque les deux inconnues x et y entreront effectivement dans les équations proposées; mais elle cesserait d’étre vraie, si on voulait appliquer les formules [2] à deux équations à une seule inconnue. Ainsi lorsque a et a' sont nuis, on a x — oc et y = g, et les équations [1] se réduisant à 6y=A;età6'y=A', on voit qu’elles sont incompatibles, puisque kb' — blé n’est pas nul, sans quoi la valeur de x ne deviendrait pas infinie.
Si on a à la fois o= 0, a'= 0 et kb’— bk'= 0, les formules [2] se réduisent toutes deux à g, et cependant la valeur seule de x
est indéterminée, et celle de y ést égale à C’est au reste ce que
l’on déduit de la formule y — ’ car> si on * écrit <*ue
.. . . k(ab' — ba') k
kb'-bk'= 0, il viendra y =6(a6—^ = ^.
181. Considérons actuellement un système de m équations littérales à m inconnues, et représentons par
les formules générales qui servent à les résoudre, et dont nous avons donné la construction au n° 172. Supposons qu’en appliquant ces formules à la résolution d’un système de m équations numériques à m inconnues, il en résulte R = 0. Il pourra
alors arriver deux cas : ou les numérateurs A , B , C , se
réduiront aussi tous à zéro, ou il n’en sera pas ainsi. Examinons successivement ces deux cas, en commençant par le second.
Supposons donc que R étant nul , A ne le soit pas, de sorte
que la valeur de x se réduise à^=oo ; je dis que les équations
DES ÉQUATIONS DU PREMlEll DEGRÉ. 129
proposées sont incompatibles. En effet, on pourra toujours supposer que, pour obtenir les formules ci-dessus, on ait éliminé d’abord toutes les inconnues, à l'exception dex, entre les;» équations littérales, et l’équation finale en x aura été nécessairement
Rr= A,
puisque nous supposons que l’expression générale de x est
Or, cette équation est absurde, lorsque R devient nul sans que A le soit, ainsi qu’on l’a vu au n“ 138; mais si un même système de valeurs de x, y, z, .... pouvait satisfaire aux équations proposées, la valeur de x, qui en fait partie, devrait vérifier l’équation Rx=A (189); donc, puisque cette équation ne saurait être satisfaite par aucune valeur de x, il faut nécessairement en conclure qu’aucun système de valeurs de x, y, z, .... ne peut vérifier les équations proposées, et qu’ainsi elles sont incompatibles.
182. Supposons maintenant que tous les numérateurs soient nuis en même temps que le dénominateur commun R ; alors les inconnues se présenteront toutes sous la forme §. Donc, pour connaître leurs véritables valeurs, on devra remonter aux équa-’ tions numériques proposées (140), y faire les hypothèses qui ont réduit les formules générales à g , et les résoudre, en leur appliquant directement les méthodes d’élimination. Si l’on par- . vient à une équation identique , on en conclura quelles sont indéterminées ; mais si l’on arrive à une équation absurde, telle que 0 = A, ce sera un signe certain qu’elles sont incompatibles.
183. Exemple I. Si dans les formules [30] du n* 189, on suppose
a"~ ma -f- na', b"=mb-\-nb:, c“=mc-\-nc', K' = mk-\-nk ,
elles se réduiront à [J ; et il est facile de voir, sans se donner la peine de les résoudre, que les. équations
ax+by+cz=k, a’x+b'y -\-c'z=K , d'x -f U' y -f c"z = k" c. 9
MSCUSSfOM
sont alors indéterminées. Car, si l’on représente les deux premières par À — 0 et par A'=0, la troisième le sera, en vertu des hypothèses qnc nous avons faites, par wiA-|-»»A'=0'; or, tout système de valeurs de x, y, s, qui satisfait aux deux équations
A =0 et K'—O, vérifie la troisième wA-f-nA'=0, et réciproquement tout système de valeurs de ces inconnues qui vérifient les équations A=0 et i»A-{-«A’=0 satisfait à A'=0; donc les solutions du système proposé seront données par les deux équations à trois inconnues A=0 et A'=0.
Le système des équations, que nous avons pris pour deuxième exemple au n° 102, est dans ce cas : la quatrième, en effet, a*/ été formée en ajoutant membre à membre les équations obtenues en multipliant la première par 2 et la seconde par — 3. Exemple II. Considérons les trois équations
= a'x-\-ky-\-a's=k', a“ x a!'y -\-a"z—l£ :
on fera, dans les formules [30] du n* 109,
a — b=c= 1, b'=c'=al , b"=c"=a!',
et on verra qu’elles se réduisent toutes trois à g ; on se reportera en conséquence aux équations proposées, et, en retranchant de la seconde le produit de la première par a', on trouvera l’égalité absurde
donc ces équations sont contradictoires.
Exemple III. Soient encore les équations
x-\-y-\-cz — k, x-\ -y+c'x—k', xr{-y-\-c"z=k' : on trouvera , en leur appliquant les formules générales ,
*•=«, y= ce, s = 0,
de sorte que les équations proposées sont incompatibles. En effet, si on les retranche membre à membre, on remplacera leur système par le suivant : '
x-{-y-\-ez-=k, (c — cf)s=k — k', [c — c*)z=k — A", or, ces deux dernières équations ne seront compatibles que si
l’on a - — -7= , et comme nous n’avons pas fait cette
hypothèse, il faut en conclure que les proposées sont contradictoires.
lr
Mais si — — -, — -t, , les valeurs générales de a* et de j se
réduiront à }} * comme celle do s. Mais tandis que - est déter-
nainée et égale à , x et y restent indéterminées ; car le
système des équations proposées est équivalent à celui des deux équations
de sorte que l’on n’a plus, pour déterminer æ et y , que la seule ’ équation
, , k — h , . ck' — kc'
x + y+c^—j — k, ou x+y= -—y
On pourra donc assigner une valeur arbitraire à l’une d’elles, et la valeur de l’autre sera déterminée.
184. II est bon de remarquer Je cas où, les seconds membres de trois équations à trois inconnues étant nuis , le dénominateur commun
R = ab'c" — ac’b" -f- ca! b" — ba'c''- f- bc'a"— cb'a *
des valeurs de x, y, s, le sera aussi, auquel cas les formules générales se réduiront à g. On résoudra donc alors directement les proposées
ax-\-by-{-cz=0, dx-{-b'y-\-c'z=0, d'x -)- b" y -\-c"z—0;
pour cela, on tirera des deux premières
bc' — cb' ca! — ac'
'ab'—ba'Z' y~ab’—ba!Z
* On tire , en effet , de celte équation de condition
ur— *•; <r— c’ :: Je — fc'tc — e* :: k—kT-.c — d.
