I. PRINCIPES GÉNÉRAUX

183. La théorie des inégalités repose sur ce principe, savoir :

que

Si a > b, on aura a — b>0, quels que soient les signes de a et de b.

Trois cas peuvent se présenter, selon que a et b sont tous deux positifs , tous deux négatifs , où que a est positif et b négatif. On ne peut pas supposer a négatif et b positif, car on aurait alors a ■< b (26).

1° Si a et b sont positifs, et que a soit > 6, il est évident que a — 6>0.

2° Si « et b sont négatifs, et que a soit > b, la valeur absolue de a sera moindre que celle de b, et par conséquent a — b sera positif, puisque le signe de b doit changer en retranchant cette quantité de a.

3° Si «>0 et 6<0, il est évident que a — b est la somme de deux quantités positives, donc a — 6>0.

Réciproquement si a — b>0, a est > b. La démonstration est la même que la précédente.

186. Il suit de ce principe qu’on n'altèrepas une inégalité ,

en ajoutant à ses deux membres Ou en en retranchant une même quantité; ainsi de a>fc on tire a±c>b±c. En effet, puisque a>6, on a a — 0, et par conséquent a — ô±cq=c> 0,

ou, ce qui revient au même,

a±e — (i»±c)>0; donc (183) a±c>b±c.

187. Il suit de là que, pour transposer un terme d’un membre d’une inégalité dans un autre , il faut le supprimer dans le membre où il se trouve, et l'écrire dans l’autre avec un signe contraire à celui qu’il avait , car cela revient à retrancher ce terme, pria

avec son signe, des deux membres de l’inégalité. Ainsi de a-|-6;>e — d, on tire a -f- dj>c — b.

188. Si l'on change les signes de tous les termes d’une inégalité, il faudra renverser en même temps le signe qui indique l'inégalité , car cela revient à faire passer tous les termes du premier membre dans le second et réciproquement. Ainsi de a — 6>c — d on tire — o+é< — c-\-d.

189. On n’altère pas une inégalité en multipliant ou en divisant ses deux membres par une même quantité positive, mais si cette quantité est négative, U faut renverser le signe de l’inégalité.

r Supposons m^> 0; je dis que de a>6 résulte ma~f>mb

ou En effet, puisque a>é, on a a — ô>0 et par con-

séquent ma — mb~j> 0 (56) ou >0 (35); donc ma~j>mb

a b ou — >— • m tn

2“ Si »«<0, de a>6, on tirera ou — <— . La

ni m

démonstration est la même que celle du cas précédent.