On peut ajouter membre à membre plusieurs inégalités

"qui ont lieu dans le même sens ; ainsi de aj>b et de cj>d, on tire a-\-c'j>b-\-d\ car ces inégalités reviennent à a — bf> 0 et à c — df> 0, d’où a — b-j-c — 0, d’où + d (187).

191. On peut retrancher membre à membre deux inégalités qui ont lieu en sens contraires, en donnant à la nouvelle inégalité le signe qu’a celle dont on retranche ; ainsi des inégalités

et c<jd, on tire a — — d. En effet, elles reviennent à a — ê>0et-à c — ri< 0; or, si de la quantité positive a — b on retranche la quantité négative c — d , on aura évidemment un résultat positif; donc a — b — c-|- d> 0, d’où a — c>>6 — d.

Ex général, il n’est point permis de retrancher membre à membre deux inégalités qui ont lieu dans le même sens. Ainsi de 8>7 et de 6>2, on ne tire pas 8 — 6>7 — 2.

192. On peut multiplier membre à membre plusieurs inégalités qui t ml lieu dans le même sens, pourvu que les deux mem-

bres de chacune soient positifs; e’est-à-drre que si a, b, e, d sont quatre quantités positives et que l’on ait o>6 et c>rf, on en déduira ac>bd. Cela est évident, puisque les facteurs du produit ac sont plus grands que ceux du produit bd.

Des inégalités 5> 3 et — 6> — 7, on ne tirerait pas 5X(—6)>3X( — 7), car cela reviendrait à — 3©>— 21.

493. 11 suit de là que l’on peut élever à la iqime puissance les . deux membres d’une inégalité, quand ces deux membres sont des quantités positives. Ainsi 5 >3 donne 5* >3’; mais de 5>— 7, on ne tirerait pas 5*>( — 7)*.

494. On peut élever à une puissance de degré impair, les deux

membres de toute inégalité; ainsi de on tire, par exemple, o*"+l>ié*+l. . »

En effet, si a est positif et b négatif, la chose est évidente, puisque toute puissance de degré impair d'une quantité négative est négative (38). Si « et 6 sont négatifs, a,”+1>6*"+l, puisque ces deux puissances sont négatives, et que la valeur absolue de la première est moindre que celle de la seconde.

493. Avant d’aller plus loin, observons que si l’on élève deux quantités égales et de signes contraires, -j- a et — a, à une puissance de degré pair , 2/n , on trouvera le même résultat ~ +a'm (38) ; d’où il suit que si l’on demande d’extraire une raciue de degré pair 2 m d’une certaine quantité, et qu’on ignore si cette quantité provient d’une grandeur positive ou d’une quantité négative, on doit, dans le doute où l’on est , affecter cette racine du double signent*. Ainsi on dira que la racine carrée de 25 est ± 5 ; que la racine quatrième de 81 est rit 3.

Mais, si Je degre de la racine à extraire est impair, on donnera à cette racine le signe même de la quantité dont on l’extrait, car toute puissance de degré impair d’une certaine quantité porte le signe de cette quantité (38). . ' ■ m

498. On peut extraire une racine de degré pair des deux membres d’une inégalité, pourvu que l'on prenne, pour ces racines ,

des quantités positives. Ainsi de l’inégalité (a — 6)*>jc — df, on tirera a — 6>c — d, si (a — b) et (c — d) sont des quantités positives; mais si (a — b), par exemple, était négative, comme le carré de ( b — a) est le même que celui de (a— b ), l’inégalité proposée revenant à (b — bJ'Xc — df, on en tirerait b — a>c — d.

107. On peut extraire une racine de degré impair des deux membres de toute inégalité ; ainsi de aj>b on déduit, par exemple, g a > y , car toute racine de degré impair d’une quantité' négative est aussi négative (103),

108. On peut diviser membre à membre deux inégalités, gui ont lieu en sens contraires, et entre deux quantités positivbs, en donnant à l'inégalité résultante le signe de celle qu’on a divisée.

Ainsi de af>b et de e<d, on tire cela est évident puis-

qué te premier dividende est plus grand que le second, tandis que le premier diviseur est au contraire moindre que le second.