Si l'on a une suite de fractions ... dont

les numérateurs sont quelconques et dont les dénominateurs sont tous positifs, et que l'on forme une fraction ° ^ ^ ~ ^ ^**>

dont les deux termes sont les sommes qu’on obtient en ajoutant d’une part tous les numérateurs, et de l’autre tous les dénominateurs des fractions proposées, cette fraction sera comprise entre la plus petite et la plus grande de celles-ci.

Supposons-les en effet rangées par ordre de grandeur , de

manière que ^ soit la plus petite et que ^ soit la plus grande ; on aura évidemment

THÉORIE DBS INÉGALITÉS. 13“

Or, si l’on additionne toutes ces relations membre à membre, il viendra

a ~\~ai 4" fl»-!- *1“ ^ j

donc

b -f- fti — b

En partant au contraire de l’égalité a„= ô„ . on trouverait • «m-i <ù„i . t~ etc. , et on arriverait ainsi à conclure que

é + *« + &«+ ••• + *» bm