U. DES INÉGALITÉS DU PREMIER DEGRÉ A UNE SEULE INCONNUE
200. Quelle que soit l’inégalité proposée, on pourra toujours faire évanouir les dénominateurs, s’il y en a (132), en ayant égard au principe du n° 189, et la ramener ainsi à la forme
ax-{ b^>c-\-dx fl]
On en tire, en transposant,
d’où x^\ - — ,, selon que a — d^O.
Dans le premier cas , la quantité - — - est une limite inférieure de x, c’est-à-dire que pour vérifier l’inégalité proposée, on pourra assigner à x toutes les valeurs imaginables plus grandes que ^ en n’oubliant pas ce que nous avons dit au
n° 26, sur les grandeurs relatives des quantités positives et négatives.
* Prononcez plus grand ou plus petit que.
THÉOME DES INÉGALITÉS.
Dans le second cas, où a — d <0, - — ~ est une limite su-
périeure de x, de sorte que l’on peut donner à cette inconnue toutes les valeurs plus petites que cette limite.
Lorsque l’inconnue x sera assujettie à satisfaire à deux inégalités différentes, on pourra lui assigner une infinité de valeurs, si elles déterminent à la fois deux limites inférieures, ou deux limites supérieures de cette inconnue; seulement il faudra partir de la plus grande limite inférieure ou de la plus petite limite supérieure. Mais si l’on tire des deux inégalités une limite inférieure et une limite supérieure de x, on ne saurait donner à cette inconnue que les valeurs comprises entre ces deux limites, de sorte qu’il pourra être impossible de satisfaire aux inégalités proposées, si la limite inférieure trouvée n’est pas moindre que la limite supérieure.
201. Problème. Un berger, interrogé sur le nombre de ses moutons , répond : Si vous diminuez de 7 unités les J de leur nombre, le reste que vous trouverez sera plus grand que 4, et si au tiers de ce nombre vous ajoutez une unité, vous trouverez une somme qui surpassera l'excès de la moitié du nombre de mes moutons sur 4. Quel est le nombre de ces moutons ?- En le désignant par x, on trouvera facilement les deux inégalités
Sx-7>4, | + l>Jx-4.
On en tire successivement
ce
2x — 35>20, d’où x>-^- = 27£,
2x-f 6>3x— 24, d’où x<30.
Or, x devant être un nombre entier, on ne pourra prendre pour sa valeur que les seuls nombres 28 et 29. 11 est facile de vérifier que ces nombres satisfont à la question.
Mais , si le reste obtenu en retranchant 7 des | du nombre des moutons eût dû être plus grand que 5, on aurait trouvé 30 pour
limite inférieure de x, et comme la limite supérieure est aussi 30, le problème n’aurait pas admis de solution.
8 in. DES INÉGALITÉS ENTRE PLUSIEURS INCONNUES. 202. Considérons deux inégalités entre deux inconnues ax-\-by>k, a'x + t/y>k'.
On en tire
et
— by >
x 2, selon que 0^,0,
>k‘ — Vy
> selon que a'^0.
Si a et a! sont deux quantités positives, on a ainsi deux limites inférieures dear, et alors on pourra assigner à y une valeur arbitraire p, et donner en même temps à x toutes les valeurs plus
grandes que la plus grande des deux quantités- ^ ^ et — J'
Si a et a‘ sont négatifs, on pourra encore donner à y une valeur arbitraire p, et x recevra en même temps toutes les va-
leurs moindres que la plus petite des deux quantités L et
Si a et a’ sont de signes contraires, et si , par exemple, C>0 et o’<0, on aura
et cela exige que l’on ait
k — by ^.k' — b' y
ce qui détermine une limite de y. A lors on assignera à y toutes les valeurs plus grandes que cette limite, si c’est une limite inférieure; plus petites qu’elle, si c’est une limite supérieure; et on accouplera, avec chacune de ces valeurs de y, toutes les va-
leurs de x comprises entre les deux limites correspondantes de cette inconnue.
En résolvant les inégalités proposées par rapport à y , on obtiendrait semblablement la limite de x.
205. Les mêmes considérations conduiront à la détermination des limites des deux variables x et y, dans un système quelconque d'inégalités à deux inconnues.
Supposons , par exemple, que l’on propose de satisfaire aux trois inégalités
2y — x>0, 1— 1x— 3y>0, 7+4x-f-y>0, par des valeurs entières de x et de y. On en tirera, en les résolvant par rapport à x,
il faut donc que l’on ait à la fois
— ^i^<2y et ■
On en déduit
y> — l, et
Ainsi, puisque y doit être une quantité entière, on ne peut pas lui assigner d'autres valeurs que 0 et 1.
Or, pour y = 0. On a j;<0, x<\, x> —
Donc à y =0 on ne peut faire correspondre que — 1, puisque c’est là le seul nombre entier compris entre 0 et — J.
Pour y = 1, on a #<2, x< — 1, <r> — 2;
or, il n’y a point de nombres entiers compris entre — 1 et — 2 ; donc à y = l ne répond aucune valeur de x ; de sorte que les inégalités proposées ne peuvent être vérifiées que par le seul couple y = 0 et x = — 1.
Il est bon de remarquer que l’on peut quelquefois éliminer une inconnue eDtre deux inégalités, par la méthode d’élimination par réduction; ainsi en ajoutant à la troisième des inégalités
proposées, d’une part, le produit de la première par 4 ; d'une autre part, le produit de la deuxième par 2 , x disparaîtra , et il viendra
9ÿ-}-7>0 d'où y> — J, et 9— 5y>0 d’où y<f.
Mais ce procédé est , en général , moins commode que le précédent.
