DE L’ANALYSE INDETERMINEE DU PREMIER DEGRÉ

g I. ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ A DEUX INCONNUES.

204. Nous avons vu que lorsque le nombre des inconnues surpasse celui des équations à résoudre, ces équations sont indéterminées, c’est-à-dire qu’il existe une infinité de systèmes de valeurs de ces inconnues qui peuvent les vérifier (161). Mai» si l’on demande que les valeurs des inconnues soient toutes entières , le nombre des solutions pourra ne plus être infini , et quelquefois même la question deviendra impossible, surtout si l’on exige encore que ces valeurs soient non-seulement entières, mais encore positives. La détermination de ces sortes de valeurs est l’objet de l’analyse indéterminée. Pour prendre d’abord le cas le plus simple, nous allons nous occuper de la résolution , en nombres entiers , d'une équation du premier degré à deux inconnues.

205. Toute équation du premier degré à deux inconnues peut, comme nous l’avons vu, être ramenée à la forme

Ax + By = K ,

dans laquelle A, B et K représentent trois nombres entiers. Tâchons de la réduire à la forme la plus simple possible. En conséquence, si ces trois nombres ne sont pas premiers entre eux, on les divisera par leur plus grand commun diviseur, ce qui donnera une équation plus simple

Maintenant, il pourra se faire que deux des trois quantités A', B' et K' aient un facteur commun ; je suppose d’abord que A’ et B' jouissent de cette propriété et que leur plus grand commun