DK L’AN\I,YSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ

diviseur soit d ; je divise tous les termes de l’équation cidessus par d , et il viendra

A'x+ry=|,

équation qui ne pourra être satisfaite par aucun couple de valeurs entières de x et de y, puisque A" et B" sont des nombres K' .

entiers, et que -j n en est pas un. Donc

Pour qu’une équation à deux inconnues soit soluble en nombres entiers, il faut que le plus grand commun diviseur de leurs coefficients divise le terme tout connu.

200. Supposons maintenant que, A' et B1 étant premiers entre eux , l’un de ces coefficients A', par exemple, ait un facteur commun d avec K' : en divisant tous les termes de l’équation K'x -|- B'y = K’ par ce facteur commun , on trouvera

' n'ii

or, A" et K" sont des nombres entiers ; donc — ~ doit aussi être

un nombre entier ; mais B' et d sont premiers entre eux ; donc y doit être un multiple de d, et est ainsi de la forme dt/ , de sorte que l’équation proposée sera ramenée à

A"x + BY = K",

et celle-ci sera elle-même susceptible d’être simplifiée, si B' et K" ne sont pas premiers entre eux. On voit par là que l’on pourra toujours réduire toute équation à deux indéterminées à la forme

ax -f- by = k [1] ,

dans laquelle les nombres a, b et k sont premiers entre eux deux à deux.

207. Occupons-nous donc de la résolution de cette équation. Rien ne serait plus facile, si l’un des coefficients a, par exemple, était égal à l’unité, car alors on en tirerait immédiatement

x=-k — by.

DE L’ANALYSE INDÉTERMINÉE

et on voit ainsi qu’à chaque valeur entière de y correspondrait une pareille valeur de x. En conséquence , nous allons tâcher de faire dépendre la résolution de l'équation [1] de celle d’une équation dans laquelle le coefficient de l’une des inconnues serait l'unité.

a et b étant deux nombres premiers entre eux sont nécessairement inégaux : soit a <6. Je résous l’équation [1] par rapport à x, c’est-à-dire par rapport à l’inconnue qui a le plus petit coefficient, ce qui donne

J’effectue la division de b par a , j’appelle q le quotient et r le reste , de sorte que

b = aq + r,

et je substitue cette valeur de b dans celle de x; il viendra xJ'-aW-ry=qy + k-p,'

Pour que cette valeur de x soit entière, il faut et il suffit que les valeurs entières que l’on pourra attribuer à y rendent

* a r't égale à un nombre entier quelconque t, de sorte qu’on

aura

- = t , et x= — qy-\-t.

La résolution de l’équation [1] se trouve donc ramenée à celle de l’équation

* ~ r-- — t , qui revient à ry-\-at=k [2],

et nous nous sommes approchés du but vers lequel nous tendons, car les coefficients r et a des inconnues y eW sont respec tivement moindres que ceux a et b, que les inconnues x et y ont dans la proposée. Il est d’ailleurs évident que nous nous en serons d’autant plus approchés que r sera plus petit. Si donc, en faisant la division de b par a, en dedans, comme à l’ordinaire.

Dû l’HEMIEIl Dît. UK.

on trouvait un reste il serait avantageux d’effectuer

cette division en dehors {Arithmétique , 02), car alors le reste serait plus petit que J a, en valeur absolue *. Nous supposerons désormais que l’on ait toujours fait les divisions en dedans ou en dehors, selon qu’il sera nécessaire pour obtenir un reste moindre que la moitié du diviseur.

Remarquons encore que , si k et r avaient un facteur com-

h — ni

mun m , la fraction — 2 pouvant se mettre sous la forme

, et m étant une quantité première avec a , sans

quoi h et a auraient un facteur commun, il faut, pour que

- — — soit un nombre entier, que - — — soit .aussi un nombre a ^ a

entier {Arith., 80) , ce qui donne

— = /, d’où r'ÿ-f-o/=A',

et ici le coefficient de y est moindre que dans l’équation [2]. Nous ne négligerons donc pas cette simplification , quand elle se présentera.

Observons encore que l’on pourra effectuer aussi la division de k para, ce qui conduira à une équation plus simple, et qu’il conviendra de la faire en dedans ou en dehors, selon qu’il sera nécessaire pour avoir un facteur commun au reste de cette division et à celui de b par a, s’il est possible.

Revenons maintenant à l’équation [2], et, en opérant sur elle comme sur la proposée , on en tirera

k — at

k — rvt

les valeurs entières que l’on attribuera à t rendent

* L’égalité 6=a<j4-r revient à 6=o (q+1)— a+r ou b=a (q-t-1) — (a or a—r<\a.

en posant a = rqi-\-r{.

Pour que cette valeur de y soit entière, il faut et il suffit que

k — rtt

146 DB l’a.NALTSE INDÉTERMINÉE

égale à un nombre entier quelconque tt, de sorte qu’on aura = et y = — ?,/+<,.

La résolution de l’équation [2] dépendra ainsi de celle de l’équation plus simple

k — rj

tit ou rj -\-rt, — k [3].

On tire de celle-ci

, k — rti , k — r,f,

<=— - — = — qJt -j — ,

en posant r = r1gs-|-ri- Pour que t soit un nombre entier, il faut et il suffit que l’on donne à h des valeurs entières qui

fc r f

rendent — égale à un nombre entier quelconque U , de sorte qu’on aura

k — rtt i fi

et

t — > — ÿi#i -f- tf

La résolution de l’équation [3] est maintenant ramenée à celle de l’équation plus simple

= ou rtf, + rlt, = k [4].

Mais remarquons, sans aller plus loin, que les coefficients des diverses inconnues, dans les transformées successives, sont les restes mêmes que l’on aurait trouvés en cherchant le plus grand commun diviseur de a et de b ; car nous avons d’abord divisé b par a, puis a par le reste r de cette première division , puis ce reste par celui r, de la seconde, et ainsi de suite. Donc, puisque a et b sont supposés premiers entre eux, on parviendra à un reste égal à l’unité, lequel sera le coefficient de l’avantdernière des indéterminées que l’on aura introduites dans le cours du calcul. Supposons que rt soit ce reste égal à l’unité : on tirera alors de la dernière transformée ,

tt = k— rit,.

En substituant cette valeur de f, dans celle de t, puis en remontant ainsi successivement aux valeurs des diverses inconnues, on parviendra à obtenir, pour # et pour y, des valeurs qui seront des fonctions entières (18) de l’indéterminée t+ Ces valeurs contiendront en général un terme en t, et un terme indépendant de cette variable, et seront ainsi de la forme

y = ^ -|— Bit , x — ci -J- A/*.

Le problème sera alors complètement résolu, puisque, pour toutes les valeurs entières que l’on donnera à t,, on trouvera de pareilles valeurs pour x et pour y *.