Exemple I. Résoudre l’équation

en nombres entiers.

128 n’ayant pas d’autre facteur premier que 2, on voit que les trois nombres 177, 128 et 95, sont premiers entre eux deux à deux. Cela posé, en appliquant la méthode que nous venons de développer, nous trouverons successivement

y = tttt: =#

* Cette méthode démontre qu’il suffit que les coefficients a et h soient premiers entre eux pour que l'équation ax + by=k soit soluble en nombres entiers : elle prouve également que cette condition est nécessaire. Kn effet, si a et b ont un commuu diviseur r. , comme les coefficients des deux inconnues , dans chaque transformée , sont les deux derniers restes obtenus , on arrivera à la transformée

d'où l'on tirera

4“ — kt

v,=*=ini !==-qmHtm+h.,

J» Tm

en désignant par q»+i le quotient de la division de r., par r « ; puis donc que ce quotient est entier, on voit que l’équation ci-dessus sera absurde, à moins que r. ne divise k.

DE LA.NALVSE INDKTEhSIlNÉE

Or ^ — — = — fl, et comme 19 et 49 sont premiers

entre eux , il en résulte que — ^ — ne sera entier que si (5 — /) est divisible par 49. Je pose donc

et nous aurons

De l’équation

= /,, on tire / = 5 — 49/,,

et par suite

de sorte qu'en donnant à /, toutes les valeurs entières possibles, on tirera des formules

#=15—128/, et y = 20— 177/, toutes les solutions entières de l’équation proposée. Si , par exemple , on suppose

/ = 0, on aura x= 15 et y = 20;

etc.

Exemple II. Soit encore l’équation

Je vois à l’inspection de cette équation que 128 et 228 sont divisibles par 4, de sorte qu’en divisant tous les termes par 4 et en posant

x — Ax\ on aura 177#' — 32y = 57.

De même, 177 et 57 étant divisibles par 3, il viendra, en divisant tous les termes de cette dernière équation par 3, et en posant

y = 'iy', 59#’ — 32/ =19.

!>tT PREMIER DEfiRÉ. H9

On appliquera la méthode du n° 207 à cette équation , et on trouvera successivement

32 zx

*'=6(24- 5/,)— 3-|-2/,= 94-32/,; *=364-128/,; ÿ = 2(9 -f 32/,)— (2 4- 5/,}= 1 6 -J- 59/, ; . y— A 8 -f 1"7/,. 200. Les formules

x = a-f-A/i et j/=|j4-B/i,

que nous avons obtenues précédemment (207)', vont nous conduire à une propriété fort remarquable dont jouissent les valeurs de x et de y qni satisfont h l'équation [1].

Je remarque d'abord qu’on peut faire /i = 0, dans ces formules, ce qui les réduit à * = a et à y— p, et qu’ainsi a et p forment une solution de l’équation [1]. Cela posé, si l’on substitue a -j- A/, et p 4- B/, à la place de x et de y, dans cette équation, il viendra

(An 4~ Bè)/, = 0,

puisque aa -f &p = A, et comme /, n’est pas nul, on devra avoir

Ao 4- B6 = 0,

d ou tf = .

. Or, les deux nombres A et B sont premiers entre eux, car s’ils avaient un facteur commun m, les valeurs générales de x et de y pourraient être mises sous la forme

x = a -|-7»A'/i et y = P4-wB7,;

de sorte qu’en attribuant à /, la valeur fractionnaire —, on

aurait pour x et pour y des valeurs entières, ce qui est con-

traire à la condition

k—rj,

: /,, par laquelle nous avons déler-

DE L’ANALYSE INDÉTERMINÉE

miné f, en fonction de t,. Les fractions égales ^ et — ? étant irréductibles, il faudra que l'on ait A = ± b et B = qz a ; donc x — oc 1 5/j j y — [ dti.

Si maintenant on remplace t, par tous les nombres entiers 0, 1,2, 3, 4,.... on trouvera que les valeurs de a; et de y forment les deux progressions suivantes :

■Î- P + 2 fl, p+a, P, P— o, P— 2a,

Ainsi les solutions entières de l'équation ax -f- by = k sont les termes correspondants de deux progressions par différence, telles que dans la progression qui détermine les valeurs dex, la raison est le coefficient ’de y, pris avec son signe ou avec un signe contraire au sien, et que dans celle qui renferme les valeurs de y, la raison est le coefficient de x, pris avec un signe contraire ou avec son signe.

810. On peut démontrer autrement ce théorème important : Soient, en effet, x = a et y=p une solution entière de l’équation

ax -\-by — h :

nous aurons donc

an 6p — k ,

d’où, en soustrayant ces deux égalités membre à membre*, afx — a)-\-b{y — P) = 0,

et par suite

Or x — a est un nombre entier, donc en est aussi un ;

mais a est premier avec 6, donc a divise y — p ; donc, en repré-

*C*esl pour écrire, dans l'équation [1], la condition exprimée dans l’identité a<x + b$ = k, que nous avons fait cette soustraction. Le résultat, en effet, est le même que si nous avions remplacé dans [t] , k par sa valeur tirée de oa + bp=k.

sentant par t un nombre entier quelconque positif ou négatif, on aura y — p = at, et par suite

y = x = * — bt [5],

Ces formules ne seraient pas plu6 générales en y affectant le second terme du double signe ±, puisque t doit recevoir toutes > * les valeurs entières tant positives que négatives.

211. 11 résulte des formules [5] que, si une fois on avait déterminé une solution de l’équation [I], on en aurait immédiatement une infinité d’autres; de sorte que le problème de résoudre une équation à deux inconnues en nombres entiers, est ramené à celui de trouver une solution de cette équation. Nous verrons plus loin (418) que l’on peut, à l’aide des fractions continues, obtenir cette solution; mais, en attendant, il faut nous en tenir à la méthode que nous avons développée au n° 207. Cependant il sera souvent possible de trouver cette solution, en examinant attentivement l’équation proposée. Ainsi, quand on pourra reconnaître que la somme ou la différence de deux multiples des coefficients des inconnues sera un diviseur du terme indépendant, on obtiendra facilement un couple de valeurs entières de a: et de y qui vérifient l’équation proposée

. ax-\- by=k [1].

En effet , si am± bn est un diviseur de k , on aura , en appelant q le quotient de la division de k par am ± bn ,

amq ±: bnq = k ,

de sorte qu’en faisant dans [1], x=mq et y = ±nq, cette équafion deviendra identique. Donc

x — mq-\-bt et y — ±nq — at

seront alors les formules générales qui la résolvent.