OL

*>-* et *<«

On a donc ainsi une limite inférieure et une limite supérieure de t, de sorte qu’en donnant à cette variable toutes les valeurs entières comprises entre ces deux limites, on obtiendra toutes les solutions de l’équation ax-\-by— k, en nombres entiers positifs. On pourra môme faire t égal à l’une et à l’autre de ces limites, si a; et y peuvent recevoir des valeurs égales à zéro.

Le nombre des solutions entières et positives de l’équation [1} est donc limité , et cette équation serait même insoluble, si les

limites de t, — ^ et étaient comprises entre deux nombres entiers consécutifs.

Ces limites d’ailleurs ne sauraient être contradictoires, car, pour qu’elles le fussent, il faudrait que l’on eût

— d’où aa-j-ôp<0,

ce qui ne se peut ; car a et ^ formant une solution de l’équation [1], on a aa-|-6p=A, et k n’est pas négatif, sans quoi In proposée ne pourrait être vérifiée par aucun couple de valeurs positives de x et de y.

214. Dans le cas que nous examinons, on peut déterminer le nombre des solutions qu’admet l’équation proposée. En effet, si l'on appelle A et B les nombres entiers, positifs ou négatifs,

qui sont immédiatement moindres que — ^ et que K les valeurs dont t est susceptible seront

A -fl, A + 2, A + 3,.... B = A-f(B — A).

On voit donc que le nombre de ces valeurs est B — A.

DS l’analyse indéterminés

2 liS. Soit maintenant 6 <0 ; on devra alors avoir, en mettant le signe de b en évidence ,

, .. « — bt> 0 et p — a*>0,

d’où l’on tire

t<\ et *<J.

Ainsi, en donnant à t toutes les valeurs entières moindres que la plus petite de ces limites, les valeurs correspondantes de x et de y seront positives, et comme il y a une infinité de nombres qui satisfont à cette condition, il s'ensuit que l'équation [1] admet un nombre illimité de solutions en nombres entiers et positifs.

210. Problème I. Payer 1000f en schellinga et en guinres , sachant que le schelling vaut lf,20 et que la guinre vaut 26f,45.

Soient x le nombre des guinées et y celui des schellings , on aura, d’après l’énoncé ,

ou, en multipliant tous les termes par 100, afin de rendre les coefficients entiers,

2645a; + 120y= 100000, équation qui se réduit à

529a:' +3y= 2500, en posant x=8x'. On tire de là

Les valeurs de x et de y devant être positives, on posera 1—300, d’où t<%\

657+ 52900, d’où

et l’on voit ainsi que t ne peut recevoir que les valeurs 0 et — i ,

auxquelles correspondent respectivement a: = 8, y =657, et; x— 32, y = 1186.

Si l’on admet que , pour payer les 1000f, le débiteur ait la faculté de donner à son créancier des guinées ou des schellings, et que celui-ci puisse rendre des schellings ou des guinées, l’une des deux inconnues x et y pourra alors recevoir des valeurs négatives, de sorte que pour les déterminer, dans ce cas, on posera

d’où <<£ et *<-529; d’où <>* et

Ainsi , dans le premier cas , on pourra donner à t toutes les valeurs négatives — 2, — 3, — 4,.... et dans le second, on ne devra attribuer à t que les valeurs positives i , 2, 3, 4,.... Si,* par exemple, on fait t = — 2, on trouvera x=56, y— — 401, de sorte qu’on acquittera la dette de 1000f, en donnant 56 guinées qui valent 1481f,20, et en recevant, en retour, 401 schellings qui valent 481f,20. '

217. Problème II. Trouver une somme que Von puisse payer de 6 manières différentes , avec des guinées et des schellings.

Soient s cette somme inconnue , x le nombre des guinées et y celui des schellings, que l’on emploiera pour la payer. On aura l’équation

qui revient à

629a; + 24y = 20a , ou , en posant x — 4a/ ,

On tire de cette équation

156 DR l’analyse indéterminée

Pour que ces valeurs de x' et de y soient positives, on poser

6t — s>0, d’où <>§;

892 — 529/ >0, d’où /<^.

Cela posé , si l’on représente par A le nombre entier immédiatement moindre que - , il faudra que le plus grand nombre 89a

entier contenu dans — soit A-f-6, puisque l’on veut qu’il y

ait G couples de valeurs de x’ et de y (214). Donc , en appelant a et p deux quantités positives, moindres que l'unité, on aura

partant

À -j- « et

A+6 + Pi

donc , si p >• a , 6 sera le plus grand nombre entier contenu dans la différence des deux limites de t ; mais si p< « , 5 sera ce plus grand nombre entier, de sorte que, pour avoir certainement les 6 solutions demandées, il faudra égaler cette différence successivement à 6 et à 7, ce qui donnera

ü— SH’ d'oi‘ ,=3808;

||-î = 7, d'ou . = 403.

Pour savoir laquelle de ces valeurs de z il faut prendre , nous allons calculer les limites correspondantes de t. Nous trouverons ainsi

Or, il est évident que t peut admettre ainsi les 6 valeurs 635 , 636, 637, 638, 639 et 640, et que 3808f est par conséquent la somme demandée.

DU l'hEMIKU DfcoHÉ.

g II. ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A PLUSIEURS INCONNUES.

218. Nous distinguerons deux cas principaux, suivant que le nombre des inconnues surpassera celui des équations d’wne ou de plusieurs unités.

1" Cas. Considérons d’abord deux équations à trois inconnues ax by cz = k , a'x-\-f/ij-{-c'z=k'.

Il est clair que ces équations ne seront solubles en nombres entiers que si a, b, c sont premiers entre eux, ainsi que a', b\ J, car nous les supposons débarrassées de tout facteur commun à tous leurs termes. D’ailleurs, si deux des coefficients ont un diviseur commun avec le second membre , on le supprimera comme nous l’avons indiqué dans ce qui précède (200), et on transformera ainsi les équations proposées en d’autres plus simples. Cela posé, éliminons l’une des inconnues, - par exemple, entre ces équations, et nous pourrons leur substituer le système formé de l’une d’elles

ax -)- by -f cz ■= k [7] ,

cl de l’équation résultante

A-r-f-By = K [8];

de sorte qu’en résolvant cette dernière, on obtiendra tous les couples et les seuls couples de valeurs de x et de y qui , conjointement avec certaines valeurs de z, pourront satisfaire aux équations proposées. En conséquence, pour déterminer ces valeurs de z, on substituera, dans l’équation [7] , les valeurs

3?=ot + B l, y = p — A t,

que l’on aura tirées de l’équation [8] , et il ne s’agira plus que d’assigner toutes les valeurs entières de - et do l qui pourront vérifier l’équation résultante

Dt -j— cz — E.

158 de l'analyse indéterminée

On résoudra donc cette dernière, ce qui conduira à des formules ■3 = Y~I-D/,1 tf = 8 — et' ,

qui donneront z et / en fonction entière de t'\ de sorte qu’en substituant à t cette valeur, dans les formules trouvées précédemment pour x et pour y, nos trois inconnues seront exprimées en fonction entière de la même indéterminée t'. Par conséquent, il suffira d’assigner à t1 toutes les valeurs entières possibles, pour obtenir toutes les solutions des équations proposées.

Nous allons effectuer ces calculs, en supposant que les coefficients de l'inconnue s qu’on élimine ne soient pas premiers entre eux. Si nous appelons m leur plus grand commun diviseur, les équations à résoudre seront ainsi représentées par

ax -f- by me z = A ,

a'x + b'y- f- mc,z= U.

On en tirera (ISO)

(ae1 — ca!)x-\-{bc? — cb')y~ ko" — ek' [9].

Soient x = a et y — p une solution de cette équation : on aura donc

x — a. — cb')t, y — P — ( ac ' — ca')t.

Je substitue ces valeurs dans la première des proposées, et il viendra, toutes réductions faites,

c[fia! — ab’) t mcz = k — a« — [10].

Or, je dis que le second membre de cette équation est divisible par c. En effet, x = a et y = p, formant une solution de l’équation [9] , on a

(oc' — ca!) a -\-{bc' — cb') P—kc' — ch! ,

d’où, en mettant c et c' en facteurs communs des quantités qu’ils multiplient ,

c (A' — a'a — b'P) = d (A — a* — bp).

Mais c est, par hypothèse, premier avec c', donc il divise

k — ay. — ôfl; donc, en appelant q le quotient obtenu en divi- * sant celte quantité par c, l'équation [10] se réduira à

( ba ' — ab')t-\-mz — q [113,

équation qu’il s’agira maintenant de résoudre. Or, si les coefficients de l'inconnue z que nous avons éliminée eussent été premiers entre eux , on aurait eu m = 1 , et l’équation précédente étant alors soluble en nombres entiers, on en aurait tiré immédiatement la valeur de - en fonction entière de t , et le problème se serait trouvé résolu, puisque nous aurions eu ainsi nos trois inconnues x , y, z exprimées en fonction entière de * la même indéterminée t. On voit donc qu’il sera bon d'éliminer de préférence l’inconnue dont les coefficients seront premiers entre eux; car, indépendamment de la simplicité des calculs , on est certain que les équations proposées ont des solutions entières, si l’cquation [9] jouit elle-même de cette propriété.