Exemple 1. Résoudre les équations

9# -J- 3y -j- 85 — 1 64 , en nombres entiers positifs.

Les coefficients de y étant premiers entre eux, j’élimine cette inconnue , ce qui donne l’équation

3fi# +223 = 508,

que l’on ramènera facilement à >

9x-j-lls’=127, : .

en posant z = 2s'. On tire de cette équation

*=127~!1-=— -s'+lS— 2/, ^=f, z'=9t — 4 ,

z— 18/ — 8, #=19 — llf.

Je substitue ces valeurs dans la première des proposées, et il vient

100 UH l’a>ULÏsE INUEl'KU^llKÉË

Ainsi les formules générales sont

Pour que les valeurs de x, y , s soient positives , on posera 19 — llf>0, 19 — 1500, 181 — 8>0 , a|

d'où l’on tire

Ktf<2, /<fg<2, /> A>0; donc la seule valeur entière que 1 puisse recevoir est 1 = 1 , à laquelle correspondent

Exemple 11. Résoudre les équations

6x + 9y+l43 = 77, 4x + 15y + 73 = 51 , en nombres entiers positifs.

Ici les coefficients de chaque inconnue ont un facteur commun , ainsi il faut éliminer celle des trois inconnues dont le rapport des coefficients est le plus simple. J’élimine donc z, ce qui donne

Un reconnaît immédiatement que cette équation est vérifiée par x — 2 et y = 1 : donc

Je substitue ces valeurs de x et de y dans la première équation, et il vient

On tire de cette équation

en posant 1 = 71', et par suite

On verra facilement que 1' ne peut avoir que la seule valeur zéro , ce qui donne

1 220. 11 est facile d’étendre la méthode que nous venons de

développer (218), pour deux équations à deux inconnues, à la résolution de m équations entre (wi-f- *) inconnues. En effet, on éliminera une de ces inconnues successivement entre l’une des équations proposées et chacune des autres, ce qui fournira (m — 1) équations entre les m autres inconnues. On éliminera de même une de ces m inconnues entre l’une de ces équations et chacune des ( m — 2) autres, et on obtiendra par là (m — 2) équations entre les ( m — 1) autres inconnues, et, en continuant ainsi, on parviendra à trois équations à quatre inconnues, puis à deux équations à trois inconnues, et enfin à une équation à deux inconnues. On pourra remplacer, de celle manière, le système des équations proposées par le système formé de l’une d’elles; d'une des équations à m inconnues; d’une des équations à {m — 1) inconnues;.... d'une équation à trois inconnues et de l’équation à deux inconnues (1110). On tirera de cette dernière les valeurs des deux inconnues x et y qu’elle renferme, en fonction entière d’une inconnue auxiliaire t; puis on substituera ces valeurs dans l’équation à trois inconnues, ce qui donnera une équation entre les deux inconnues z et / ; on la résoudra , et , en substituant la valeur ainsi trouvée pour /, dans celles de x et de y, on aura des formules qui donneront x, y, et z en fonction entière d’une indéterminée tt. On substituera ces valeurs de x, y, z dans l’équation à quatre inconnues, et on trouvera par lit une équation entre les deux inconnues u et t, , on la résoudra, et, en substituant la valeur ainsi trouvée pour dans celles de x, de y et de s, les quatre inconnues x, y, z, u seront exprimées en fonction entière d’une môme indéterminée /,. En continuant ainsi de remonter successivement aux équations précédentes, on parviendra à des formules qui donneront les valeurs de toutes les inconnues en fonction entière d’une même indéterminée, et la question sera résolue.

221. Problème. Un avare possède dum son coffre- fort plusieurs sacs de 1000' chacun. En les comptant un jour 7 à 7, il en trouvai de reste; un autre jour , il les compta 10 à 10, et il lui

DE l’aNVI/VSR INDÉTERMINÉE

en resta 7. l'ne troisième fois, il les compta 1 1 à 1 l,et il yenevth de reste; et enfin en les comptant une quatrième fois 17 à 17, il en resta 9. Ne pourrait-on pas découvrir combien cet avare avait de sacs d'aryent , sachant d’ailleurs qu’il en avait plus de 100 et moins de 300?

1” Solution. Si l'on désigne per x le nombre inconnu des

sacs, il résulte des conditions du problème que— - — , — — ,

^ et — yÿ— doivent être des nombres entiers positifs; si donc

on désigne ces nombres respectivement par y, s, u et t», les équations du problème seront

J’élimine x entre toutes ces équations, et je pourrai remplacer de celte manière leur système par le suivant :

x — 7y=2, 7y— 103=5, 103 — 11«=— 2, llu— 17v=A.

On tire de la dernière

v = 3+ll<„ tt = 5 -f- 17 ét.

Je substitue cette valeur de « dans l’équation 103 — 11«= — 2, et il vient

103— 187/,=53, d’où 3=24 — 187/,.

En remplaçant 3 par cette valeur dans 7y — 103 = 5, ou mieux dans l’équation plus simple 7 y' — 2 3 = 1 que l'on en déduit , en posant y = 5 y', on trouvera

7y'-f 374/, = 49, d’où ÿ=7 — 374/,, en posant /, = 7 /, . On aura donc

y= 35 — 1870/,, et partant x=2i7 — 13090/,;

de sorte que la valeur de x devant être comprise entre 100 et 300, on devra laire /, = 0, ce qui donnera x — 247.

Cette solution est un exemple de la méthode que nous avons exposée plus haut ;220); mais on peut encore résoudre le problème de la manière suivante, qui est très-simple.

Digiflzed by GoO£

DU PRBMIBH DEGRÉ.

2’ Solution. Puisque le nombre demandé doit donner 9 pour reste, quand on le divise par 17, il est de In forme

Mais en divisant ce même nombre par 11, on doit trouver 5 pour reste, donc

doit être un nombre entier. J’effectue Indivision de 17 par il, et il vient

n ~ y f"rTï y l n •

ainsi, pour que soit entier, il faut et il suffit que

soit un nombre entier t ; donc

3y+2 = ll<,

équation à laquelle on satisfait en posant y = 3 et / — 1 . Ainsi la formule générale des valeurs de y est

y = 3-j-llfi, et par suite x= 60 -j- 187/,.

Telle est la formule de tous les nombres qui , divisés par 17 et par 11, donnent respectivement pour restes 9 et 5.

Cela posé, on doit trouver le reste 7, en divisant x par 10; donc

doit être un nombre entier ; j’eflcctue la division du numérateur par le dénominateur et je trouve

ainsi, on doit avoir

et par conséquent

— /j, doit /, — 10/,+ 1,

DE L’ ANALYSE INDÉTERMINÉE

Telle est la formule de tous les nombres qui donnent pour restes 9, 5 et 7, quand on les divise respectivement par 17, 11 et 10. Il s’agit encore d’exprimer que le reste de la division de x par 7 est 2, c’est-à-dire que

est un nombre entier. Il faut et il suffit, pour cela, que /, = 7 /, cequi donne x = 247 + 13090/,.

222. 2' Cas. Ici le nombre des inconnues surpasse celui des équations de plus d’une unité, et on dit alors que les équations sont plus qu'indéterminées.

Soit d'abord l'équation à trois inconnues

ax + by + ex =: k ,

supposée simplifiée autant que possible , de sorte que les trois coefficients a, b, c sont premiers entre eux, sans quoi notre équation n’admettraitaucune solution en nombres entiers(205). On examinera si deux de ces trois coefficients sont premiers entre eux, et on fera passer dans le second membre celui des trois qui aurait un facteur commun avec l’un des deux autres ; si donc a et b sont premiers entre eux, il viendra

ax + by = k — cz — k',

en posant, pour abréger, k— cz = k'. On résoudra l’équation ax-\~by = k',

ce qui donnera x == a + 6/, y — p — «/,

a et p étant des fonctions de k'. En y remplaçant k' par sa valeur k — cz, on trouvera des expressions de la forme

ar=A. + A's + é/, y=B + Bs — ai,

et à toutes les valeurs entières de c et de / correspondront de pareilles valeurs pour x et pour y.

Mais, si les coefficients a, b , c ne sont pas premiers entre eux deux à deux , comment faire? On transposera encore une des

inconnues, z par exemple, dans le second membre, ce qui donnera une équation de la forme

max -f- mbij — k — cz,

et on voit ainsi que k — cz doit être un multiple de m; on posera donc

k — cz = mt, •

ce qui donnera ax-\-by = t,

et, en résolvant cette dernière équation, on trouvera x — bt', y = p — at’.

a et p sont des fonctions de t, indéterminée dont les valeurs entières doivent, conjointement avec de pareilles valeurs de vérifier l'équation

k — cz=mt.

On résoudra donc cette équation, et on en tirera z—y-^mt", -t = 8 — ci‘\

de sorte qu’en substituant cette valeur de t dans celles de x et de y, on aura, pour valeurs des trois inconnues x, y, z, des expressions de la forme

x= A -f-AT -J- bf, y = B-f-B'f“ — of', * = y + mt". Ainsi, quand les coefficients des deux inconnues qu’on laisse dans le premier membre ne sont pas premiers entre eux, il y a une équation de plus à résoudre que dans le cas contraire. 223. Exemplb. Résoudre réquation.

en nombres entiers positifs. v

Je transpose le terme Gx, ce qui donne

et on voit immédiatement que l’on aura une solution de cette équation en posant y = — 2 k et z =-f- 3k; de sorte que y—— 2A-j-l5f,' z = 3k — 22f, ou, en remplaçant k par sa valeur,

DE L’ANALYSE INDÉTERMINÉE

Pour que ces valeurs de y et de z soient positives, on posera — 154 + 12* + 15/ >0, 231 — 18 x — 22t>0; puis, on tirera de ces inégalités

là > < 22 »

ce qui détermine une limite inférieure et une limite supérieure de l. Pour qu’elles ne soieuj. pas contradictoires,. il faudra que l'on ait

Î5 < 22 ’ <loil *<«<“•

On fera donc successivement a;— 1, =2, = 3,.. .=12 dans les limites de t , et on trouvera pour x = 1 ,

ainsi ces limites sont contradictoires, de sorte qu’il faut rejeter la valeur x = 1. On trouvera de môme que la valeur x=3 doit être seule admise. Elle donne

<>^>7 et <<^p<9, donc 1 = 8;

par suite

224. Si l’on avait plusieurs équations, on ne conserverait, dans leurs premiers membres, qu’un nombre d’inconnues supérieur d’une unité à celui des équations, et on transposerait toutes les autres dans les seconds membres. De cette manière on serait ramené à résoudre un système d’équations qui seraient simplement indéterminées.

221î. Exemple. Résoudre les équations

5# + 7 y — 4«+ 3w = 12, 8a: + 2y + 3«+4« = 36, en nombres entiers positifs.

Je remarque qu’en posant z =2s', je pourrai diviser tous les

DU PhEMIEB DEGRÉ.

termes de la deuxième par 2, de sorte que nos deux équations deviendront

J’élimine xj entre ces deux équations, et je substituerai ainsi à leur système le suivant

4x + y+33' + 2u = 18, 23* + 1 lu = 1 H — 29s' = k.

On satisfait évidemment à cette dernière équation, en posant x = k, et u = — 2A ; donc

x — k — 11/ = 114 — 29.5' — lit, u = — 2A -f 23/ = — 228 + 58s' -f 23/. '

Je substitue ces valeurs de * et de u dans l’équation ,

4* + y + 3~ + 2« = 18, ce qui donnera ' y= 18 — 3s' — 2/.

Pour n’avoir que des valeurs positives, on posera

inégalités d’où l’on tire

■ 114 — 29s' 2(114 — 29s') ,^.18— Sa7

Pour que ces inégalités soient compatibles, il faudra que l’on ait

23 < Tl et ^ 23 < ' 2 '•

On déduit de ces inégalités

' -'<W<4 et *>{}■

Ainsi s' ne peut recevoir que les valeurs 1, 2 et 3. En substituant successivement ces valeurs dans les limites de /, on trouvera que ces limites sont contradictoires pour 3' = 1 et pour s'=3, et que, pour z' = 2, on doit avoir t<. 6 et />-4; donc/ = 5, et par suite

C’est là la seule solution des équations proposées.