En divisant tous les termes de l’équation [1] par le

DE ci ÉQUATIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ. 169

coefficient a de x *, et posant, pour abréger, = q, it

viendra -

U s’agit donc de résoudre cette équation. La première chose qui se présente à l'esprit, pour y parvenir, c’est de transposer le terme +? dans le deuxième membre (127); et on trouvera ainsi ; * . . •

x*-\-px = — q.

Maintenant il est clair que, si, par l’addition d’une quantité connue aux deux membres de cette équation, on pouvait faire en sorte que le premier devtnt le carré d’un binôme, en extrayant la racine carrée du deuxième membre, on obtiendrait la valeur de ce binôme , et l’équation ainsi formée n'étant que du premier degré, serait alors facile à résoudre.

Or, on sait que le carré d’un binôme se compose de trois parties, savoir : du carré du premier terme, du double produit du premier terme par le deuxième, et du carré du deuxième^ terme (SI); si donc on regarde x * et px .comme les deux premiers termes du carré d’un binôme, le premier terme de ce binôme sera x, et le deuxième sera =^. Donc, si nous ajouta: 2

tons aux deux membres de l’équation x’-f -px — — q,

le carré ~ de ce deuxième terme le premier membre deviendra le carré du binôme (x +0, et nous aurons en conséquence

Ainsi — q^j est le carré de la quantité ^ + 2) » d°nc en extrayant la racine carrée de ^ — q V on obtiendra la valeur

de cette quantité 0. Nous aurons donc (103)

équation d’où l'on tire

On a ainsi deux nombres qui, substitués dans l’équation [2], y satisferont. Ces nombres se nomment les racines de cette équation * *.

228. Ainsi, Y équation géncrule du deuxième degré a deux racines. Or, je dis qu 'elle n’en a pas davantage. Désignons, en effet, une de ces racines par x\ son premier membre sera divisible para: — x' (71, 1°), et le quotient de cette division sera un binôme du premier degré, que nous pourrons représenter par x — de sorte qu’on aura

x* px g = {x — x'Xx — x").

On voit que x" est aussi une racine de l’équation [2], puisque,

* On peut observer que x» n’étant pas plutôt le carré «le + x que celui «le —a, j? et + px sont aussi bien les «leux premiers termes du carré du

binôme (-•?) que du carré du binôme x + | « de sorte que , au lieu

d’écrire x + £ =±y/^ — q , on devra écrire

*+2=?± -« el -z-l=±^f~-ï-

Or, en changeant les signes de tous les termes de celle dernière équation, elle devient la précédente. Donc il élail'inutile de poser celle dernière équation.

Remarquons encore qu’en extrayant la racine carrée des deux membres de l’équation ^x =-- — q, on trouve ± ^x + 1) — ± — q,qui

revient , comme nous venons de le voir, à x + ? — q. Donc il

est permis d’extraire la racine carrée des deux membres d’une équation; mais il sera inutile d’affecter les deux membres du double signe ±.

DIS iOÜATIOltS DU DEUXIÈME DEGRÉ. 171

en faisant x =■ x", le produit (x—x/)(x — 'cc")devient nul. Cela posé, supposons que xm soit une troisième raçine; le trinôme x' -\-px-\- q sera divisible par x — x ", et ce facteur devra en conséquence diviser x — x' ou x — x " (118), ce qui est impossible, puisque aT est une quantité différente de x? et de x" . Donc celte équation n’a que les deux racines déterminées par la formule [3].

220. En comparant la formule [3] à l 'équation [2], on en tire cette règle générale : L'inconnue d'une équation du deuxième degré , ramenée à la forme x’-f- px^f-q = 0, est égale à la moitié du coefficient du deuxième terme pris avec un signe contraire , plus ou moins la racine carrée du résultat que l’on obtient en retranchant du carré de cette moitié le terme tout connu.