Exemple. Résoudre l’équation

Sx* 3x xx x 1

En faisant évanouir les dénominateurs et transposant ensuite, on trouvera

60x‘ — 52x — 24 = 0, ou, en divisant tous les termes par 4 ,

Je dégage maintenant x* de son coefficient, ce qui donne

puis j’applique la règle, et if vient

X~ SO^VBOO' 5 30 V 900 30 30 ’

ainsi les deux racines demandées sont

SO^SO- 30 — 5 Ct *”30 30 30 »’

comme il est facile de le vérifier, en substituant ces nombres, au lieu de x , dans l’équation proposée^

251. Si dans la formule [3] on remplace p et q par leurs valeurs respectives ^ et c~, il viendra

En réduisant au même dénominateur les deux termes de la quantité soumise au radical (02), puis extrayant la racine carrée du dénominateur 4a*, on trouvera enfin

— 6±y/6*— 4oe X —

[fl-

La comparaison de celte formule avec l'équation [1] nous montre que X inconnue d'une équation du deuxième degré , ramenée à la forme ax* bx -f- c == 0 , est égale au coefficient du second terme pris avec un signe contraire , plus ou moins la racine carrée du résultat qu’on obtient en retranchant du carré de ce coefficient le quadruple produit des coefficients des termes extrêmes, le tout divisé par le double du coefficient du premier terme.

252. Si l’on applique celte règle à l'équation ax*-j-26a;-f-c = 0,

il viendra

— 26 ±^46* — 4 ac

Mais y/46*— Aac=\J\{P — ac) = <l.\Jb'‘ — ac; donc en substituant, puis divisant tous les termes par 2, on aura enfin

— b±\Jbl — ac CC — 1 ■*

Ainsi lorsque le coefficient du deuxième terme d’une équation du second degré, ramenée à la forme ax*-(-bx-(-c = 0, est pair, l’inconnue est égale à la moitié du coefficient dit deuxième terme pris en signe contraire, plus ou moins la racine carrée du résultat que l’on obtient en retranchant du carré de celte moitié

que la question qui aura conduit à l'équation [4] n’aura pas de solution numérique exacte. Toutefois on pourra toujours trouver deux nombres qui différeront d’aussi peu que l’on voudra des véritables valeurs de x ( Arith ., 5802).

Maintenant, quels seront les signes de ces valeurs de x? Il est clair que nous nourrons toujours supposer a positif; car si v-. «... ' ’ Vu ’.véùa du signe — , on lui ferait acquérir le

signe -(- en changeant les signes de tous les termes de l’équation [1] Les signes des valeurs de x données par la formule [4], dépendront donc uniquement de celui du numérateur de telle foi-mule. Quant aux coefficients b et c, ils ont des signes semblables ou différents, ce qui donnedieu aux quatre combinaisons suivantes :

Dans le premier cas , le terme — b est négatif : mais 4 ac étant

positif, é’ — 4 ac<Zb' et par conséquent \Jb' — 4 ac est <6, donc — b-\-\]b' — 4ac est négatif; donc la première valeur de x est négative; il est évident que la deuxième l’est aussi, puisqu’elle est la somme de deux quantités négatives; ainsi les * deux racines sont négatives. On conçoit, en effet, que les trois coefficients étant positifs, aucune valeur positive de x ne saurait satisfaire à l’équation [1]. v.

Dans le deuxième cas, où 0 et e]> 0, le terme — b est positif, et par conséquent la quantité — b + ^b‘ — 4oc est positive, donc la première valeur de x est positive: la deuxième l’est aussi, car ici, comme tout à l’heure, \> b1 — 4ue < 6 ; ainsi les deux racines sont positives. On conçoit, en effet, que, dans l’hypothèse actuelle, aucune valeur négative donnée à ar ne pourrait vérifier l’équation [1] ; car, par la substitution de cette valeur, le terme bx devient positif et les termes ax' et c conservent le signe

En raisonnant de la même manière, on verra que, dans les

deux autres cas, tes racines sont de signes contraires; que, dans le premier, la racine négative est la plus grande en valeur absolue, et que le contraire a lieu, dans le deuxième. On peut donc former le tableau suivant :

23o. Lorsque, dans un polynôme, deux termes consécutifs ont les mômes signes, on dit qu’ils forment une permanence, et qu’ils présentent une variation, quand ils sont affectés de signes contraires. ' • ’ .

Cela posé, il résulte du tableau ci-dessus que lorsque b’ — dac sera positif, i'rquation couPfi.TK du deuxième degré aura autant de racines positives que son premier membre a de variations , et autant de racines négatives qu’il a de permanences. Cette règle est fort commode, puisqu’elle offre le moyen de reconnaître les signes des racines de l’équation proposée, à l’inspection seule de cette équation. Ainsi, comme dans l’équation 15x* — llix — 6=Q, la condition b' — dac>0 est nécessairement remplie, puisque son dernier terme est négatif, on voit immédiatement qu’elle a une racine positive et une racine négative.

236. 2* Cas. Soit 6’ — 4ac—0, alors les deux valeurs de £ se réduisent toutes deux à ■ . -

ce que l’on énonce en disant que les deux racines de l’équation [I] sont égales, de sorte que cette équation a — ~ pour

seule racine. Pour voir à quoi lient ce résultat singulier, introduisons la condition b1 — Aac — 0 dans la proposée. On en

tire 0=7- et, en substituant cette valeur de c dans [1], il Aci

viendra

ax'+bx+~.

niais il est facile de voir que le premier membre de cette équa-

lion est le carré de y > a

revient à

de sorte que la proposée

et alors il est évident qu’elle ne peut être satisfaite qu’en posant

xJa- 1 — ^= = 0, d'où x = — ~.

257. On voit par là, que la condition nécessaire et suffisante pour que le trinôme eue* -f- bx 4- c soit un carré parfait, est b* — 4ae=0; car, si ce trinôme est un carré parfaitj les racines de l’équation [1] sont égales, ce qui exige que le terme affecté du double signe dans la formule [4] soit nul , c’est-à-dire que é* — 4ac=0. Ainsi , pour qu'un trinôme du second degré soit un carré parfait , il faut et il suffit que le carré du coefficient du deuxième terme, diminué du quadruple produit dis coefficients des termes extrêmes soit égal à zéro.

230. 3' Cas. Soit b ' — 4ae<0. On est alors conduit à extraire la racine carrée d’une quantité négative. Mais toute quantité est nécessairement positive ou négative, et, dans ces deux cas, son carré est positif; donc les racines carrées des quantités négatives n’existent pas, et sont en conséquence des expressions imaginaires. Par opposition, on dit que les racines carrées des quantités positives sont réelles; ainsi , lorsque b* — 4ac> 0 ou =0, les valeurs données par la formule [4] sont réelles, il elles sont imaginaires quand b* — 4ac<0.

Si la formule [4] est applicable à ce dernier cas, l’équation [1] doit alors exprimer une absurdité, puisque, pour trouver une quantité qui y satisfasse , il faudrait exécuter une opération impossible. Examinons donc si celte équation est effectivement absurde. Pour cela , je mets a en facteur commun de tous ses termes, ce qui donne

. 4Jj + «*+9==°;

puis , en raisonnant comme au n° 227 , on verra facilement que x* et -j--x sont les deux premiers termes du carré du binôme x + de sorte que, si l'on ajoute ^ à la

quantité comprise dans les parenthèses, ce qui est permis,' l’équation proposée pourra être mise sous la forme suivante :

ou bien

“((*+è)-ïr>+;)-0’

Ainsi, quelque valeur réelle que l’on- donne à x, la quantité comprise dans les accolades restera toujours positive, puisque b' — 4 uc étant <0, 4ae — b‘ est au contraire >0. Donc aucune valeur réelle de x ne peut vérifier l’équation proposée ; donc cette équation exprime une absurdité, et cette absurdité consiste en ce que l'équation [1] exprime que la somme des deux

quantités a(^x -j- et — "> 9ui ont Ie Même signe que a, doit être nulle.

259. On voit encore, par là, que quand une équation du deuxième degré a ses racines imaginaires , son premier membre conserve constamment le signe du coefficient de son premier terme , quelque valeur que ton y donne à l'inconnue, car le facteur -f- sera toujours positif.