Sr b — 0, la formule [4] se réduit à

C’est, en effet, ce que l’on .trouve, en résolvant directement l’équation

/ix’-f- c — 0,

car, on en tire d’abord, en transposant et en dégageant ensuite x' de son coefficient ,

x'= , d’où x~àz

212. Si o = 0, la première valeur de x devient ~ , et la se- • 26

conde — — , tandis que, par suite de la meme hypothèse,

l’équation proposée se réduit à 6x-J-c = 0, d’où x = — ainsi il semble que la formule [4] n’est pis applicable au cas actuel, ce qui ne serait pas surprenant, puisque, pour obtenir la formule [3], de laquelle on a déduit la formule [4], on a supposé que a n’était pas nul (227).

Afin de nous en assurer, reprenons la première valeur de x,

laquelle s’est présentée sous la forme £, et cherchons à décou-

vrir si la véritable valeur de cette fraction ne serait pas — — .

I’our cela, je remarque que si le facteur a est commun aux deux termes de celte fraction , ce qui empêche de le découvrir, c’est

DES ÉQUATlOttS DU DEUXIÈME DEGRÉ. 179

qu’il y a dans son numérateur une opération qui n'est qu’tndiquée, de sorte qu aucune réduction ne pouvant s’y effectuer, ce facteur n’est pas apparent. Nous éluderons cette difficulté, eu multipliant lesdeux termes de la fraction paré-f car, de cette manière, le numérateur deviendra is différence des carrés de yV — tac. et de b, et par conséquent nous pourrons effectuer ces opérations. On trouvera ainsi

b ’ — 4 ac — b * — 2 c

2 a (b-Ç-y'b* — 4 ac) b -|- \'b‘ — 4uc

en réduisant et divisant ensuite les deux termes par 2a. Si maintenant on fait a = 0, on trouvera- que cette fraction se réduil

à — qui est la valeur même de x que nous a donnée l'équa-

tion proposée.

Quant à la valeur — , on peut la regarder comme la limita

vers laquelle tend, la fraction

ft-j-y'//1 — 4 ac ^2 « ’ '

lorsque l’on suppose que a décroît indéfiniment. Multiplions, en effet, les deux termes de celte fraction par b — y 'b* — 4ac, et il viendra., toutes réductions faites,

b — y/ 6* — 4ac -

Si b et csont positifs, et que ion donne à a des valeurs positives de plus en plus petites, la quantité y'b’ — 4ae, toujours moindre que 6, tendra à devenir égale à ce coefficient, de sor(c que le dénominateur b — y/ b' — 4 ac pourra prendre une valeur positive aussi petite que l’on'voudra; donc, en donnant à a une valeur positive suffisamment petite, notre fraction acquerra une valeur absolue plus grande que toute quantité assignable et sera négative; donc sa limite est i infini négatif. Cette conséquence subsisterait encore si c était négatif, car 1» numérateur serait positif, et le dénominateur décroilraiL négativement.

Si on suppose que a soit négatif et prenne des valeurs absolues indéfiniment décroissantes, on verra, par les mêmes raisonnements, que la limite de là fraction est l'infini positif.

.11 est inutile de s’arrêter au cas où 6 serait négatif, parce qu’en changeant x en — x dans l’équation proposée, ce qui ne ferait que changer les signes de ses racines (142), on retofnberait sur le cas précédent. ■ . .

245. Supposons que l’on ait à. la fois a = 0 et b — 0, les deux valeurs de a; se présenteront sous la forme g ; or, en faisant successivement 6 = 0 et a = 0 dans les formules [5] et [6] auxquelles nous avons ramené la formule [4], on trouvera qu’elles ü.c 2c

se réduiront à 4-— et à — — . Or, pour 6 = 0, l'équation [1]

devient

ax'-\-c=0, d’où x =zfc

Si donc on donne à a des valeurs décroissantes, mais de signe contraire à celui de c, on reconnaît que x a deux valeurs de signes contraires et qui tendent vers l’infini. Donc la formule [4] convient encore au cas actuel.

Enfin, si on a à la fois a = 0, 6=0, e=0, lesTormules [5] et [61 se réduisent à g, et comme l’équation [1] devient alors identique, on en conclut que la formule [4] est encore applicable, si l’on regarde g comme le symbole de l’indétermination.

244. Nous avons montré (228) qu’en désignant par x1 et par x" les deux racines de l’équation [2], le premier membre de cette équation était le produit des deux facteurs x — x' et x—x", c’est-à-dire que

x'-{-px-\-q—(x — x') (x — x").

On voit donc que le premier membre de toute équation du second degré, ramenée à la forme x* -|- px -f- q = 0, est le produit de deux facteurs du premier, formés en soustrayant chaque racine ■ de l'inconnue. '

Quand le coefficient de x* n’est pas l’unité, il faut, pour reproduire le premier membre, multiplier le produit de ces deux

facteurs par ce coefficient. On voit , en effet , que te trinôme ax' -(- + c étant (227) égal à a(x\-j-px -fs q), on a

ax,-\- bx-\- c = a(x-^x') (x — x”).

Ainsi, pour décomposer en facteurs le trinôme 6 ar*— x — 12, on l'égalera à zéro, et les racines de l’équation résultante étant

| et — ç , on en conclura que . .• *

24S. On formera donc une équation du second degré qui ait pour racines des nombres donnés x’ etx", en égalant à zéro le produit des facteurs x — xf et x — x" trouvés en soustrayant chaque racine de l’inconnue; ce qui donnera

x 1 — x' x -f- x'xf! = O.

Ce résultat nous apprend que dans toute équation du second degré , ramenée à la forme x* + px + q = 0, le coefficient du. second terme est égal à la somme des racines prises avec des signes contraires, et que le terme indépendant est égal au produit de ces racines. ... .

240. Ces propriétés fournissent un nouveau moyen de reconnaître les signes des racines d’une équation du second degré, lorsque ces raciries sont réelles. Divisons, en effet, tous les termes de l’équation [1] par a, ce qui donnera

et considérons, par exemple, le cas où *<0, c <0.

Alors le dernier terme -, qui est le produit des racines, étant négatif, on voit que ces racines sont de signes contraires; mais le second terme ^ étant négatif, leur somme est positive : donc

la racine positive est plus grande en valeur absolue que la racine négative. * . .

182 DBS «QUATIONS BV DEUXIÈME DEGRÉ.

847. Problème 1. Étant donnés la somma s de deux nombres et leur produit p, trouver chacun d'eux. •

Soit x l’un des nombres demandés : l'autre 6era s — x, et on

aura .par conséquent, pour l’équation du problème,

x(s — x)=p,.d’où x* — ■sx-j-p = 0,

équation d’où l’on tire

Quoique nous trouvions pour x deux valeurs, il ne faut cependant pas en conclure que le problème admette deux solutions, parce que la somme de ces deux valeurs étant la somme donnée s (2 il»), il s’ensuit que cçs deux valeurs sont précisément les deux nombres cherchés.

Au reste, on pouvait prévoir que l’équation, qui donnerait l’un des nombres demandés, donnerait aussi l’autre; car x ne représente pas l'un plutôt que l’autre.