L’équation

x * — sx -}-/) = Ô

nous montre que deux nombres dont on connaît la somme et le produit sont les racines d’une équation du second degré, qui a pour coefficient du premier terme l’unité, pour coefficient du second terme la somme donnée prise avec un signe contraire , et pour terme indépendant, le produit donné.

.On aurait pu déduire cette conséquence des propriétés énoncées au n° 243, mais on n’aurait pas raisonné rigoureusement en agissant ainsi, parce qu’on ne sait pas a priori si le problème n’a qu'une seule solution.

249. Problème II. Trouver, sur la droite qui joint deux points lumineux A et B, le point R où il faudrait placer un écran pour qu’il en reçut des quantités égales de lumière. On admet ce principe de physique que tintensilé de la lumière croit en raison inverse du carré de la distance , c’est-à-dire qu’un écran placé à des distances 2, 3, 4,... ibis plus ou moins grandes d’un point

des équations bu deuxième degré. 183

lumineux est 4, 9, 16,... fois moins ou plus éclairé par ce point.

tt"

bésignons par d la distance des points fixes À et B, par a et L les quantités de lumière que l’écran reçoit respectivement de ces points lumineux, quand il est successivement placé à l’unité de distance de chacun d'eux, et enfin appelons x la distance du point cherché R au point A. Nous allons calculer les quantités de lumière que l’écran , placé en R , recevra de A et de B, et, en écrivant qu’elles sont égales, le problème sera mis en équation. Or, puisque le point A projette sur l’écran, placé à l'unité de distance, une quantité a de lumière, on trouvera la quantité y de. lumière* qu'jl envoie à ce môme écran placé à la distance x , par la proportion

a : y :: x' : t , d'où y = ^.

On verra de même que BR étant égale à d — x, la quantité s de lumière que notre écran, placé en R, recevra de B, sera déterminée par 4a proportion

b:s :: (d— *)*: 1, d’où z — ,-r-— . ;

donc l’équation du problème est a b

tn-

Il s’agit donc de résoudre cette équation. Mais, au lieu de la * ramener à la forme convenue (220), je remarque qu’on l’abaissera immédiatement au premier degré, en extrayant la racin carréo de ses deux membres (227*) : on trouvera ainsi •

équation d’où l’on tirera facilemént

dy/a

Nous allons maintenant discuter cette formule, et nous distinguerons, pour cela, trois cas principaux, savoir ia>b, a — b, a <C. b.

1" Cas. La première valeur de x place récran entre

les points A et B, et plus près du second que du premier; car il

est évident que la quantité est plus petite que l'unité

et plus grande que J. En effet, le dénominateur est plus grand que le numérateur, mais il est plus petit que le double de ce numérateur, puisqoea>é; donc la valeur de x est et>4rf. C’est ce qui doit arrivér, car pour qu’un écran , placé entre A. et B, soit également éclairé par ces deux lumières, il faut évidemment qu’il soit plus près de la plus faible que de la plus brillante. • '

Quant à la seconde valeur de x , elle est plus grande que d ,

car =/■“■-— > i ; ainsi il y a une seconde position à donner à V 0 —

l’écran sur le prolongement de AB, en un certain point R'.

2* Cas. a = b. La première valeur de x se réduit à ^ , et il est

évident, en effet, que, dans l’hypothèse actuelle, l’écran qui sera placé au milieu de l’intervalle AB, sera également éclairé par les deux lumières.

La seconde valeur de x deyient infinie pour a=b. Mais si, au lieu de faire brusquement a = b, on suppose que l’intensité du point lumineux B, d’abord moindre que a, augmente de plus en plus, la seconde valeur de :r,irà en augmentant, et on voit qu’en donnant à b une valeur inférieure à a d’aussi peu que l’on voudra, cette valeur de x pourra devenir plus grande que toute quantité donnée, de sorte que quand on aura b=a, il n’y aura plus de position possible à assigner à l’écran sur le prolongement de AB; et en effet, dans toutes ces positions, il sera toujours plus près de B que de A , et par conséquent il sera inégalement éclairé par ces deux lumières.

DES ÉQUATIONS t>(J DEUXIÈME DEGRÉ. 185

Si en même temps que a = b, on avait <2 = 0, la première valeur de x se réduirai là zéro, et la seconde à g ; mais, comme il n’y a pas de facteur commun aux deux termes de la fraction

—=^ — =, il faudra, pour interpréter ce dernier résultat, faire-

les hypothèses a= b et d =0 dans l’équation du problème. On trouvera ainsi qu’elle se réduit à l’identité

xi~xi'

et qu’en conséquence g est ici le symbole del’indétermination, de sorte que x pouvant recevoir toutes les valeurs possibles, on doit én conclure que, dans quelque position que l’on place l’écran, i* sera également éclairé par les deux lumières, ce qui est évident. 3' Cas. a<b. Ici la première valeur de x est encore plus

petite que d et elle est même <C^, ce qui doit être. Quant à

la seconde, elle est négative, ce qui indique que la distance de l’écran au point A doit être portée, non plus à droite du point A sur AB, mais à gauche de ce point, conformément aux conventions faites au n°22. ici la valeur négative de x provient d’une fausse hypothèse faite sur la position du point R', en mettant le problème en équation ; car on aurait obtenu la même équation [7], en prenant AR’ pour inconnue. Supposons en effet que * l’écran doive être placé en R", et désignons AR" par x; les quantités de lumière qu’il recevra des points A et B seront respecti-

vemeni -s et — 5, de

x' (d-\-xf'

alors

sorte que l’équation du problème sera

et c’est là précisément ce que devient l’équation [7], quand on y change x en — x (145).

250. Problème IÙ. Plusieurs personnes, voyageant ensemble, prirent une voiture qui devait les conduire à leur destination,

moyennant 342 francs. Le voyage fait, trois voyageurs se trouvèrent sans argent , mais les autres suppléèrent à ce qui leur manquait, et donnèrent chacun lüf de plus. On demande le nombre des voyageurs.

Soit x !e nombre des voyageurs, x —3 sera le nombre de ceux

qui ont acquitté les 342 francs, et par conséquent r sera la

quote-part que chacun aura payée, au lieu de — qu’il devait.

Puis donc que chacun d’eux donne 19f de plus que si tous les voyageurs avaient également contribué à la dépense, on aura pour l’équation du problème

On tire de cette équation x = 9 et x = — 6. La première de ces deux valeurs nous indique que les voyageurs étaient au nombre de 9, ainsi qu’il est facile de le vérifier.

Quant à la seconde valeur de x , elle n’a ici aucun sens , car le nombre des voyageurs n’est pas susceptible de recevoir deux modes d’existence opposés. Si l'on veut savoir quelles modifia cations il faut introduire dans l'énoncé du problème, pour que -j-6 en fournisse une solution, on changera x en — x dans l’équation de ce problème ( 1 4i>), ce qui donnera

Ainsi -^-représentant toujours la somme que chaque voyageur

devrait payer, — — sera celle qu’il paye réellement, de sorte

que le nouvel énoncé sera le suivant :

Plusieurs personnes, voyageant ensemble , prirent une voiture qui devait les conduire à leur destination, moyennant 342e.

Mais trois nouveau jf vot/ageurs étant survenus, la quote part de chacun se trouva diminuée de 19f. On demande le nombre primitif des voyageurs. Ou vérifiera facilement que ce nombre

était 6.

231. 'Problème IV. En laissant tomber une pierre dans un puits de mine, on a trouvé qu'il s'était écouté un nombre t de secondes, entre l’instant de sa chute et celui où le bruit de son arrivée att fond du puits est parvenu à l'oreille de l’observateur. On propose de calculer laprofondeur de ce puits, sachant que la vitesse du soii est uniforme et de a mètres par seconde , qu'un corps qui tombe dans le vide parcourt | g mètres pendant la première seconde, et que les espares parcourus ainsi sont proportionnels aux carrés des temps. On fait d'ailleurs abstraction de la résistance de l'air.-

Désignons la profondeur du puits par x : nous calculerons le temps j que la pierre a rnis pour arriver au fond, en posant la proportion

d’où y= y y.

D’un autre côté, la vitesse du son étant de a mètres par seconde , on trouvera le temps z que le son a mis, pour parvenir du fond du puits à l'oreille de l'observateur, «n posant laproportion . .

a : x :: î : z , d’où z =

mais t est évidemment la somme des nombres y et - : donc l’équation du problème est

On tire de cette équation, en isolant le radical dans le premier membre, puis en élevant au carré les deux membres de l’équation résultante,

d'où

!7ar*— 2 a(gt + a)x -(- «V<*= 0, x=£\gt + a±ja (« + 2?o]’

Il semblerait ainsi que le problème a deux solutions, car ces valeurs de x sont réelles et positives, et cependant il est évident a priori qa’il-ne peut en admettre qu’une seule. Comment donc distinguer, entre ces deux valeurs de x , celle qui résout le problème? Pour y parvenir, nous observerons qu’en t secondes le son doit parcourir un espace plus grand que la profondeur du puits; donc cette profondeur doit être moindre que al; mais la première valeur de x est au contraire plus grande que at ; donc elle doit être rejetée; donc la solution du problème sera donnée par la formule

* = ÿl 9* +a — + 2 gt) j •

252. D'où vient que l'algèbre a ainsi donné une solution étrangère à la question proposée ? Nous remarquerons que , pour rendre rationnelle l’équation du problème, nous avons

élevé au carré les deux membres de l’équation y/ — = t — — , et que nous aurions obtenu le même résultat en carrant les deux

J oc

membres de l’équation — y/ — = t — de sorte que les deux

racines de l'équation gx'— ia(gt-\-a)x-\-aigti=0, appartiennent respectivement à ces deux équations, et nous verrons (2GI) que la seconde est satisfaite par la valeur de x que nous avons rejetée.

255. On voit par là que quand on aura à résoudre une équation qui renfermera un radical du second degré, il faudra cT abord faire évanouir ce radical, en l'isolant dans un membre et en élevant ensuite au carré les deux membres de la nouvelle équation ; mais aussi l’équation rationnelle résultante pourra avoir des racines qui ne satisferont pas à la proposée.

254. Si l’on voulait faire abstraction du temps, toujours trèscourt, que le son a mis pour venir du fond du puits, il suffirait de supposer qué sa vitesse a croit indéfiniment, et de chercher vers quelle limite tend alors la valeur de x. Mais j’observe que quand a augmente, les quantités (gt -}-a) et y/o(a-f-2ÿf)

* . „ croissant en même temps, on ne peut pas reconnaitredans quel' sens varie la valeur de x. Pour éluder cette difficulté, je multi- . plie et je divise l’expression de x par gt -f- «-)- v'«fa-(-2ÿT); de cette manière, le numérateur deviendra égal à la différence des carrés de gt -}- a et de a[a-\-igt), et l’on trouvera, toutes réductions faites,-

agi *

ÿt-fa-f- \Jü{ïgt-\-a) ’

mais comme la variable a se trouve encore dans les deux.termes de cette fraction, je les divise l’un çt l’autre par a, ce qui donne

Or, lorsque a augmentera , la quantité ^diminuera et pourra

même devenir moindre que toute grandeur donnée, lorsqu’on assignera à a une valeur suffisamment grande ; donc la limite du dénominateur est 1 -f- 1 =2 , et par conséquent celle de x

esi~~ î et en effet, en vertu du principe que les espaces parcourus par un corps, qui tombe dans le vide, sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir, on calculera l’espace parcouru en t secondes, par la proportion

2S8. En résolvant les problèmes 111 et IV, nous avons trouvé des solutions étrangères : à quoi cela peut-il tenir? 11 y a , en général, dans l’énoncé d’un problème, deux sortes de conditions auxquelles les inconnues doivent satisfaire : les unes que nous appellerons conditions algébriques^ t qui peuvent toujours être exprimées par des équations; les autres que l’on nomme conditions physiques , qui assujettissent les inconnues à être , par exemple , des nombres entiers , des quantités positives , à

être comprises enlre certaines limites, etc., et qui, ne pouvant ainsi être exprimées par des équations , doivent être vérifiées après coup. D’où l'on voit que, avant d'admettre, comme solution d’ua problème, les valeurs trouvées pour les inconnues, il faudra s’assurer qu'elles satisfont aux conditions physiques de son énoncé, de sorte que celles qui seront incompatibles avec ces conditions devront être rejetées, et les autres seront seules bonnes.

Mais, dira-t-on, pourquoi l’algèbre fournit-elle des solutions étrangères aux questions que l’on veut résoudre? C’est qu’en appliquant l’algèbre à la solution d’un problème, on le dépouille des conditions physiques auxquelles sont assujetties les inconnues, que l’on ne soumet ainsi qu’aux seules conditions algébriques , de sorte que les équations que l’on obtient conviennent à toutes les questions qui comportent les mêmes conditions algébriques , mais diffèrent seulement par les conditions physiques.

Exemple. Une personne a emprunte un nombre d'écus de 5r, tel que si de 512 fois la somme prêtée , évaluée en francs, on retranche le carré de cette même somme , on aura pour reste 6000 francs. Quelle est celte somme?

DésigQons-1 1 par x et nous aurons

512x— *-.z,= 6C00 ; d’où x = 12 etx=10ü.

Mais les conditions physiques de la question exigent que la somme demandée soit un nombre entier, positif et divisible par 5; puis donc que des deux nombres 12 et 100 le second satisfait seul à ces trois conditions, la racine 12 doit être rejetée et 100 francs est la somme demandée.

23G. Lorsque dans l'équation flx’-|-for + c=0 ]e coefficient a est très-petit, on peut simplifier la formule géné-

— b — t~ i/ tp — 4 ne •

raie x— — — , qui se prèle mal aux calculs numé-

riques.

Considérons, en effet, l’une seulement des valeurs de x (la

seconde se trouvera ensuite facilement , puisque leur somme

est connue et égale à — -J. De l’équation aa"*-fè.r-|-e = 0, on tirera

et comme a est supposé très-petit, on pourra négliger le terme -y et prendre comme première approximation

L’erreur que l’on commet ainsi est y ; elle renferme comme

facteur la première puissance de a; on dit qu’elle est du premier ordre. Désignons-la par tt ; la valeur exacte de x sera

et , en reportant cette valeur dans le second membre de l’équa-