DEGRÉ A DEUX INCONNUES
2iî7. Une équation complète du second degré à deux inconnues doit renfermer tous les termes du second degré, tant en x qu'en y, les premières puissances de ces inconnues et un terme tout connu. Elle peut donc être ramenée à la forme
ny’-f kry-j-cx’-ffty-f ex-\- f=0 [9].
Soit encore l’équation complète ' * wÊÊr
q'y* -f b'xy + ç'x? -f d'y^-e'x -\-f=Q [10] ï -
et proposons-nous de résoudre ces deux équations.
Si l’une d’elles était du premier degré par rapport à l’une des inconnues, y par exemple, on résoudrait cette équation par rapport à y, et, en substituant la va'eur ainsi trouvée dans l’autre équation, l’élimination de y serait effectuée, et le calcul s’achè-
* On a immédiatement la suite des termes de la valeur de x en parlant — b 4* ^6’ — Inc
de la formule x — ^ , dans laquelle on développera la
la
quantité -JV—Kac lac)1 par la formule du binôme pour le cas de
l’exposant fractionnaire (339'.
verait comme au n“ 185, c'est-à-dire que l’on résoudrait l'équation finale en x, et qu’on substituerait successivement ses racines dans l’expression de y en fonction de x , ce qui ferait connaître toutes les solutions des équations proposées. On ramènera le cas général à ce cas particulier, en éliminant le carré de y entre les équations proposées, d’après la méthode dun° 180; ce qui nous conduit à substituer au système des équations proposées, le système formé de l’une d’elles et de l’équation ainsi obtenue (In démonstration est celle même que nous avons donnée au n° 186). Nous multiplierons donc les équations [1] et [2] respectivement par a' et par- a, nous retrancherons les équations-produits , membre à membre , et il viendra
' ab' — ba') xy -f- (ac' — ca') x* -j- (atl1 — da') y- 1- (««' — ea!) x
+«r-/a'=o tu],
d’où l’on tire
(gc' — en') a* -f-. (ae* —en') x -+ a f — fa'
^ (ub' — ba')x-\-(ad' — daî) ^ ’
et en substituant cette valeur dans l’une des équations proposées, on aura évidemment une équation du quatrième degré, qu’on pourra ramener à la forme
On démontrerait comme au n“ 185 que le système des équations [12] et [13] est équivalent à celui des équations [9] et [1 1] : d’où il suit que, pour avoir les solutions des équationsproposées, il faudra résoudre l’équation [13], ce qui fera connaître toutes les valeurs dont l’inconnue x est susceptible; puis substituer les valeurs ainsi trouvées dans [12], et on obtiendra les valeurs de y qui sont conjuguées avec celles de x.
288. Il semblerait plus naturel, pour éliminer y entre les équations [9] et [10], de tirer de l’une d’elles la valeur de y en fonction de x , et de la substituer ensuite dans la seconde , mais cette méthode, outre sa longueur (285), aurait encore l’inconvénient d’exposer îi admettre des couples de valeurs de x et de y
qui ne vérifieraient pas les équations proposées. Supposons, en effet, qu’après avoir ordonné leurs premiers membres par rapport aux puissances descendantes de y , on ait dégagé lo carré de cette inconnue de son coefficient : les équations [9] et [10] seront ainsi ramenées à la forme
y1 — 2Py -j- Q = 0 . [H],
On tire de la première
yrzrP-^V^7— Q [16]> >/ = P— v/PrrÜ P?J.
Si l'on substitue la première de ces valeurs dans l'équation [15], on trouvera deux sortes de termes : les uns qui seront indépendants de la quantité , et d’autres qui la contiendront
comme facteur, de sorte que si l’on désigne par A 1 ensemble des premiers et par B la somAie algébrique (3S) des quantités que y'!’ — Q multiplie , l’équation résultante pourra être représentée par A + Bv'l”— 0=0. Comme l'équation [17] ne diffère de l’équation [16] que par le signe dont v'I"— Q y est affecté , on obtiendra l’équation résultant de la substitution de p—y/p'—g dans [15], en changeant, dans féqualion que nous venons d’obtenir, le signe du facteur v'I”— Q- On aura donc ainsi les deux équations
et il est facile de voir, en répétant les raisonnements faits au ne 1Ü3 , que tout couple de valeurs « et y = p, qui vérifie les équations [14] et [15], vérifie l’équation [16] ou l’équation [17], et par suite l’équation [18] ou l’équation [19]; et que réciproquement tout couple de valeurs x=a et y =f, qui vérifie le système des équations [16] et [18], ou celui des équations [17] et [19], vérifie les équations [14] et [15]; d'où il suit que si l’on résout, d’une part, le système des équations [16] et [18], d’une autre part, celui des équations [17] et [19], on obtiendra toutes les solutions et les seules solutions des équations propo-
ms Aquations du deuxième degré. . • 195
sées. Mais pour résoudre les équations [!8] et flfl], il faut les rendre rationnelles , et , pour cela, isoler dans un membre le terme irrationnel, et élever ensuite les deux membres au carré (253). Or, en effectuant celte opération sur les équations [18] et [19], on obtient l’équation unique
qui a par conséquent pour racines toutes les valeurs de x qui pourraient vérifier les équations [18] et [19], de sorte que, quand on aura résolu cette équation , on ne saura plus si une de ses racines « devra élre substituée dans [16] ou dans [17], 11 faudra donc, pour éviter toute erreur, substituer cette valeur « de x dans [18], et suivant qu’elle satisfera à cette équation ou qu’elle ne la vérifiera pas, on mettra a au lieu de x dans [16] ou dans [17], ce qui fera connattre la valeur correspondante de y. Prenons, pour exempte, les deux équations
a?— 2xy + y*— y=0, x*— 3xy-f 2y‘-f y=0.
On tirera de la première
*—V+^9 [16], x=zy — fîj [17} ;
puis , en substituant dans la seconde , on trouvera , toutes réductions faites, . '
- y\/y+2y = 0 [18], +yvy-l-2y= 0 [jdj,
Kn faisant évanouir les radicaux, il viendra
y»— 4y*=0, ou y’(y — 4) = 0.
Sous cette dernière forme , on voit que y a trois valeurs, dont deux sont égales à zéro, et dont la troisième est égale à 4.
Or y = 0, satisfait également à [18] et à [19], donc on devra faire y=0 dans [16] et dans [17], et il en résultera x=0, ,? — Q. On verra ensuite quey==4 vérifie [18], mais ne satisfait pas à. [19]; donc on devra substituer y =4 dans [16] et on aura, pour valeur correspondante de x, x=6. Ainsi les solutions demandées sont
2o9. La résolution de l'équation [13] est impossible au point où nous en sommes actuellement de l'algèbre. Cependant on peut résoudre cette équation, dans le cas particulier où les coefficients B et D seraient nuis, c'est-à-dire dans le cas où elle se réduirait à
Ax‘+Cx*-1-E=0 [21].
Une pareille équation est dite bi-carrée.
Posons en effet
elle deviendra, en substituant,
Ay’-f Cy + E=0.
En résolvant cette équation, on en tirera deux valeurs de y, que je représente par a et par b , de sorte que l’on aura ainsi
x’==a, d’où .r=:±v,a»
et x*=b, d’où x=rt y'b.
La proposée aura donc quatre racines égales deux à deux et de signes contraires. Pour que ces racines soient réelles , il faut d’abord que a et b soient elles-mêmes des quantités réelles , ensuite qu’elles soient positives. Si l'une d’elles est négative , les deux valeurs correspondantes de x seront imaginaires, et si « et b sont toutes deux négatives ou imaginaires , les quatre valeurs de x seront imaginaires. Ainsi l'équation bi-carrée peut avoir ses quatre racines réelles, ou deux racines réelles et deux imaginaires, ou toutes les quatre imaginaires.
On voit qu’elle n’aura de racines égales qu'autant que a sera égal à b, et alors son premier membre sera un carré parfait, car, pour que « soit égal à b , il faut (237) que
C* — 4AE = 0 , d’où E = ~., **
et, en substituant cette valeur dans [21], il viendra
équation dont le premier membre est le carré de^jr*vfA -f- ■
Les valeurs de y étant y = — * ^ , la formule gé-
nérale des valeurs de x sera
— Crty/C1 — 4AE 2 A
et on pourra discuter directement cette formule, en suivant exactement la marche que nous avons tracée aux n°* 234, 236 et 238.
2GO. La formule [22] nous montre que, pour obtenir les valeurs de x, il faut extraire la racine carrée d'un binôme composé de deux termes, dont l’un — C est rationnel, et dont C autre v'C* — 4AK est en général une quantité irrationnelle du deuxième degré ; or, on ne peut alors obtenir la valeur de ce terme qu'approximativement, de sorte que les valeurs de x sont ainsi compliquées de deux causes d'erreur. Si, au contraire, on pouvait transformer l’expression de x en une autre dans laquelle les deux radicaux fussent indépendants, on extrairait l’une des racines par excès et l’autre par défaut , si ces radicaux avaient des signes semblables, ou toutes deux dans le même sens, s’ils avaient des signes contraires, et les erreurs commises sur les deux racines se compensant en partie, on aurait ainsi la valeur de x plus exactement.
Soit donc A-j-v'B la quantité dont on demande la racine carrée : il s’agira de trouver deux nombres rationnels x et y tels que l’on ait
VA-j-y'B — ^x-\-^y.
Cette équation n’a rien d’absurde, car si l’on élève ses deux membres au carré, on trouvera
A-|-v/B = j:-[-2^jny-(-ÿ [23],
et les deux membres de celle-ci sont de même forme. Or, cette
Y JT
If
Jk
<;quation se décompose dans les deux suivantes
v/B = 2v/xÿ,
formées en égalant entre eux , d’une part, les termes commensurables, et, de l’autre, les termes incommensurables qui se trouvent dans les deux membres de l’équation [231- Supposons, en effet, que A ne soit pas égal à x-\- y, et soit d leur différence,
de sorte que
A = ar-f y + d.
En substituant cette expression de A dans l’équation [23] , et simplifiant ensuite , il viendra
d + = Isfxÿy
d’où , en élevant au carré ,
d1 -f- 2d y/B -f- B = 4 xy ,
et par conséquent
ce qui ne se peut pas ; donc
A = x y, et par conséquent, yü — l^xy.
Si l’on carre cette dernière équation, on aura pour déterminer x et y les deux équations
dont l’une fait connaître la somme et l’autre le produit de ces deux inconnues. Les valeurs de x et de y sont donc (240) les racines de l’équation
a* — As 4- 7 = 0.
DBS ÉQUATIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ- Itt
En résolvant cette équation , on trouvera
A + v'Â^B A — v/ÂT=-g
par conséquent
ÆT7» = yAiÆE?* 141).
Remarquons que les deux radicaux du deuxième membre doivent avoir des signes semblables, sans quoi, en élevant ce deuxième membre au carré, on ne reproduirait pas le terme / + y/B. Ce serait le contraire si y^B était précédée du signe — ; donc ’
va- ve = - v/A^f3 [»]. ,
On voit que si (A* — B) n'est pas un carré parfait, les formules que nous venons de trouver ne rempliront pas le but que nous nous sommes proposé en les calculant, car elles seront plus compliquées que celles auxquelles on voulait les substituer, et alors il faudra effectuer directement le calcul indiqué par l'expression A±y/B.
261. Exemple I. Soit l'expression V 31 — 10 y/6. On posera AF=31,y/B=ÎOy/6, d’où y/ A* — B = v;96 1—600 = = 19.
La formule [25J est applicable et on trouve
vîT^=v/!lp v/ïEZ5=5-v8.
Exemple II. Nous avons dit au n“ 2S2 que la valeur de x,
- \gt-\-a-\-yJ al-\-1agt\ devait vérifier l’équation — y/ — =t —
Pour le faire voir, je la substitue dans cette équation , qui devient ainsi, après avoir changé les signes des deux membres,
-V2a J y/-f«+y/ a'-^'Àagt } — \ gt-\-a-\-qu'-\-ïayt } —t [26]*
Pour séparer les deux radicaux qui se trouvent dans le premier membre, j’effeclue la multiplication indiquée sous le premier radical, puis je pose A=2aÿ/-j-2a’, v'B=2 a^u'+ïagt, d’où je tire
y/A’ — B = \! 4a’ÿ,<,-^- üa'gt -(- 4a* — 4a* — 8 a*gt = 2agt .
La formule [24] est donc applicable ici, et en y remplaçant A et B par leurs valeurs , il viendra
V2a [gt-{-a-\-\J a’-\-ïagt J = ^iagt + a'+a ,
et il est alors facile de voir que l’égalité [26] se réduit à une identité.
202. Problème V. Étant donnés la somme a* des carrés de deux nombres et leur produit b’, trouver chacun d eux.
Soient £ et y ces deux nombres , les équations du problème seront
a* -j- y* = a* , xy = lP.
On tire de la deuxième - 6*
et, en substituant cette valeur dans la première, il viendra x * — a*x* -j- 6* = 0 ,
d’où
rfcya* — 46*
On voit ici que la quantité A’ — B = ^ — ( — — b*\ = 6* est un
carré parfait ; donc on pourra appliquer les formules du numéro précédent, et en le faisant, on trouvera
;r=:±:£ ( v/a’-j-îé* dby/a’ — 26’ J.
Comme les équations proposées sont symétriques eu x et en y, on en conclut immédiatement
y = ±;4{v/,a,-l-26,dt\/a, — 26*} •
D’où il semble résulter seize couples de valeurs de x et de y.
Mais il n’en est pas ainsi , car le produit xy devant être égal à 6’, il faut que le radical y V — 2è* ait des signes contraires dans les valeurs de x et de y, et que les signes qui précèdent les accolades soient les mêmes ; ainsi
y = ± ï [ y/a*+ n'zç 1 ,
les signes se correspondant dans ces deux formules , c’est-àdire que l’on doit prendre à la fois dans toutes deux les signes supérieurs ou les signes inférieurs. Si, pour abréger, on représente le premier radical par 2a et le second par 2p, on formera donc les quatre couples
X = a— p, y=ra-f-p;
X=— (a-fp), ÿ = — (a — Ê); x=— (a— p;, y = .•—(« + P) ; de sorte qu’il n’y a réellement que les deux couples différents’ “ + P et « — P,
~ (“ + P) et — (a — p),
gui satisfassent à la question. Ainsi les solutions du problème seront données par les deux formules
x = ± ^ - 26* -j- yV — 26* j ,
y =fc ± 4{ ^«*-1-26* — y/o' — 2&*j .
" On peut obtenir encore les solutions des équations proposées d'une manière beaucoup plus simple. Pour cela, ajoutons le double de la deuxième équation avec la première : il viendra
(x -f- y)* = a1 26* d’où x -j- y = ± y'o* -f- 26’.
Ainsi, on connaltla somment yV-j- 26* et le produit ù* des deux nombres demandes ; donc (248) ces nombres sont les racines de la double équation
a*rpV'â* + 26ia-f ù* = 0,
de laquelle on tire
rt t/a* -I- W±*fâ* — 26*
Or, le signe -{- du premier radical appartient aux deux racines de la première équation, et le signe — de ce radical appartient à celles de la seconde; de sorte qu’il y a deux couples dénombrés qui satisfont à la question , savoir :
v/o1 + 2è*4-v/a*— 26* 4 y/a’ -f 26* — ja' — 26* .
— y/a* -)- 26* -)- y/a’ — 26* — y/a‘ -f-26* — v/fl* — 26*
et. 2 et 2 *
La solution du problème sêra donc donnée par les deux formules suivantes :
x = ±^(v/a* + 26*-j-v/a‘— 2É*), y = Tfc f (y/a’-f- 26* — y l'a* — 26’\ dans lesquelles les f ignés se correspondent.
On voit que, dans cette deuxième méthode, nous avons évité la résolution d’une équation du quatrième degré, et c’est ce (pie l’on pourra faire souvent par des artifices de calcul que suggérera l’habitude. Le problème suivant en offre un exemple.
2G3. Problème VI. En ajoutant m fois la somme de deux nombres à la somme de leurs carrés, on obtient le carré de ce nombre m , et on retrouve encore ce même carré en ajoutant le produit de ces deux nombres à la somme de leurs carrés ; quels sont ces nombres ?
En appelant x et y les deux nombres demandés , on trou- ■ vcra pour équations du problème * ' .
* .. xy-\-3?-\-yt = m'.
On en tire, conformément à la méthode du n° 2iî7 ,
m(x+y\ = xy,
et il faudrait actuellement éliminer l’une des deux inconnues
entre cette équation et Tune des proposées ; mais on reconnaît facilement que l'équation finale serait une équation complète du quatrième degré, de sorte que le problème proposé semble ne pas être possible, au point où nous en sommes de l’algèbre. Or, je remarque que si l’on connaissait la somme des deux nombres demandés, il serait fâche de déduire leur produit de
l’équation . -
. • m{x + y) = xy, ±
et par suite de les obtenir eux-mêmes (248). Si du double de la seconde équation on retranche la première, on trouvera /
{x + yf— m (x -f y) — »«* = o ,
d’où l’on tire par conséquent
ni ( 1 rfc y îï)
xy
wi*(l ±v/&)
Les nombres demandés sont donc les racines de l’éqnation
.1 tn{\±y'ly) , ro*( l±Vs)ft 2 S ‘ 2 ’
dans laquelle les signes se correspondent. En résolvant cette équation , on trouvera que les valeurs relatives aux signes supérieurs sont imaginaires , et que celles qui se rapportent aux signes inférieurs sont réelles, de sorte que le problème admet une seule solution réelle.
§ m. ANALYSE INDÉTERMINÉE DD DEUXIÈME DEGRÉ.
£64. Une équation du deuxième degréà deux inconnues donnant en général la valeur de l’une de ces inconnues en fonction irrationnelle de l’autre, on voit que, pour obtenir les solutions entières de cette équation , il faudra trouver pour l’une des inconnues des valeurs commensurables et entières auxquelles correspondent de pareilles valeurs pour l’autre, de sorte que la question à résoudre pourra devenir irès-difticile. C’est ce qui a
lieu en effet; aussi, pour ne pas sortir des éléments, nous nous bornerons à examiner quelques-uns des cas les plus simples qui puissent se présenter, et en particulier celui où l'équation proposée sera privée du carré de l'une des deux inconnues.
