Considérons donc d'abord l’équation

éxy-f-cx’-fdy-|-ex-f/'=0 [27],

dans laquelle b, c, <1, e, /‘représentent des nombres entiers et de plus tous premiers entre eux. On en tire, en la résolvant par rapport à y ,

cx*-\-ex-\-f bx-\-d

Soit m le facteur par lequel il faut multiplier le numérateurde cette expression de y, pour pouvoir effectuer, èn termes entiers, la division de ce numérateur par le déndminateur ; désignons par nx-\-p le quotient de cette division, et par q le reste indép ndant de x, nous aurons

Il pourra se présenter deux cas, selon que q sera nul ou qu'il ne le sera pas. Examinons d'abord ce second cas.

1° q n’étant pas nul, pour que l’équation [28] détermine des valeurs entières pour y, il faut que les valeurs entières que l’on donnera à a; rendent la quantité bx-{-d un diviseur exact de q. En conséquence, on calculera tous les diviseurs de q, et on égalera bx-\-d à chacun de ces diviseurs, affecté tour à tour du signe -f- et du signe — , et les valeurs entières de a: tirées de ces différentes équations seront les seules qui pourront faire partie des solutions que l'on cherche. On substituera donc ces valeurs successivement dans l'équation [28], et, à celles de ces valeurs qui rendront le second membre un multiple de wi, et à celles-là seulement, correspondront des valeurs entières de y. On obtiendra donc ainsi toutes les solutions entières de l'équation proposée, lesquelles seront nécessairement en nombre

limité, il pourra même se faire que l'équation [27] n' admet te point de pareilles solutions.

2° Si 7=0, ( cx*-\-ex-\-f)m est alors égal à (èx-f-d)(»x-f-p), et par conséquent l’équation [27] revient à

— my(bx-\-d)= (bx-\-d){nx-\-p),

ou à

(bx-\-d) {my-\-nx-}-p)=Q.

On satisfera à cette équation, en égalant à zéro chacun des facteurs dont son premier membre est le produit, ce qui donnera bx-\-d = 0, my -f- nx -j- p = 0.

Si d est un multiple de b, on pouira accoupler avec x == — -,

toutes les valeurs entières possibles pour y , et on aura ainsi une infinité de solutions entières de l’équation [27]. Si fH et n sont des nombres premiers entre eux, on en aura encore une infinité, en résolvant l’équation du premier degré my-\-nx -\-p = 0(207*),