Exemple I. 6 xy — 3x*-j -6y — 4x + 31=0. On en tire

. Sx’-Hx — 31 ÿ== ,ë. .

En effectuant la division du numérateur par le dénominateur , on trouvera pour quotient x -f- 1 et pour reste — 129, chaque dividende partiel ayant été multiplié par 2 ; mais en multipliant le dividende par un certain nombre, on multiplie le quotient et le reste par ce nombre; si donc on avait multiplié le dividende par 4, le deuxième terme du quotient et le reste n’auraient pas changé, mais le premier terme aurait été multiplié par 2 ; ainsi

Les diviseurs positifs de 129 sont 1, 3, 43 et 129. On posera donc

6x-f 5 = ±1, 6x+5=±3, 6x-f5=dr43, 6x+5=±129. •

306 DES ÉQUATIONS Dü DEUXIÈME DEGRÉ.

On en tire les valeurs entières suivantes

En substituant ces valeurs dans l’expression de Ay, qn trouvera 4y = — 2+ 1 + 129 = 128, d’où y = 32 ;

Ay~ — 1 6 — j— 1 — j— 3= — 12, d’où y=— 3 Ainsi l’équation proposée a deux solutions entières, savoir :

Exemple 11. Soit l’équation 2j :y — (fcc* — \y -j- X -f 22 = 0. On en tire

Pour faire la division indiquée , on commencera par diviser le diviseur par 2 , et on trouvera 6.r -f- 1 1 pour quotient exact, de sorte que

6a;«T — 22 = (ar— 2)(6*+n); ' donc l'équation proposée revient à

{x — 2)(2y — 6a— lf} = 0, équation qui se décompose dans les deux suivantes x — 2 = 0 et 2 y — (fcc— r-ll=Q. -

La deuxième n’a pas de solution entière (201?), et la première fournit une infinité de solutions formées dé la combinaison de *=2 avec toutes les valeurs entièresque l’on voudra donner à y.

267. La méthode que nous venons de développer deviendra impraticable, si è = 0, c'est-à-dire si le prodoit a-y n’entre pas dans l’équation [27] ; dans ce cas, on résoudra encore cette équation par rapport à y , ce qui donnera

cx*-\-ex-\-f d *

Cela posé , je dis que si x=a est un nombre entier qui, substitué dans cette équation, donne une valeur entière pour y, tous

le# nombres compris dans la formule x= a -\-dt , t désignant un nombre entier quelconque, fourniront des solutions entières de l’équation proposée

CvC’-j- dy-j-ex-\- f—0 [2a J.

En substituant en effet a-} -dt au lieu de x , dans l’expression de y, il viendra

(co1 -J- ea -j- /) -j- (2cdn -f - de) t -|- cd’t’ d

Mais, par hypothèse, eaJ-f- en -)- /'est un multiple de d , donc, en désignant par q le quotient de la division de ca*-f-ea-(-^par</, on aura

y— q — {lcn-\-é)t — ■ ‘cdt*.

Ainsi, pour toute valeur entière donnée à t , on aura de pareilles valeurs pour y.

Il suit de là que, si l’équation [29] est soluble en nombres • entiers, il ÿaura au moins une valeur de x qui sera plus petite que d. Désignons en effet par a. une valeur entière de x plus grande que <1 et à laquelle correspond une valeur entière de y; la quantité cr-f-df jouira de la même propriété, ainsique nous venons de le voir; mais t étant une indéterminée , on pourra toujours lui assigner une valeur positive ou négative, telle que l’onaita-[-d<<d, de sorte qu’en appelant (t cette valeur de /, n -j- dfi sera une valeur de x moindre que 4 et qui fera partie d’un couple satisfaisant à l’équation [29].

* On voit par là que, pour déterminer toutes les solutions entières de cette équation , il faudra essayer tous les nombres O, 1,2,3 (d — 1), et , si on trouve qu’à quelques-uns de ces nombres a, a', a",... correspondent des valeurs entières p, p', p",... de y, oû obtiendra toutes les solutions de liquation proposée, en posant

- V x=*'+dt 1 •

y = p — (2ca-}-«)<— cd/1 j * y=p' — — cdt* y