Exemple. Soit l'équation 3x*+5 y — 7x — 16 = 0, on

en tirera ■ .

puis, on substituera dans cette équation les nombres successifs 0, 1 , 2 , 3 et 4 au lieu de j • , et on verra ainsi qu’à x = 1 et à x = 3 répondent y = 4 et y= 2; en conséquence, on y substituera de nouveau I + M et 3 + 5/ à la place de x, et on trouvera que les formules générales qui renferment toutes les solutions de l’équation proposée sont

g IV. DES MAXIMUMS ET DES MINIMUMS.

260. Si l'on a une certaine fonction d'une variable x et que l'on y remplace celle variable par une valeur a , telle que la valeur A que prendra ainsi la fonction soit plus grande ou plus petite que celles qu'elle reçoit pour des valeurs supérieures et inférieures d’aussi peu que l’on voudra à a, on dit que A est une valeur maximum ou minimum de la fonction proposée.

La théorie des équations du deuxième degré fournit le moyen de trouver les valeurs de x qui rendent la fonction

. • «** -|- bx -4* c

a'xJ+ b'x-\-c' ’

un maximum où un minimum.

En effet , si l’on donne à x une certaine valeur, la fonction prendra une valeur correspondante y, et réciproquement étant donnée cettè valeur y de la fonction, on retrouvera la valeur correspondante de x en résolvant l’équation .

ax * 4- bx + c

a'x,-\-Ux-\-d ^

Or,' on comprend que les valeurs de x tirées de cette équation devant être réelles, les valeurs que peut recevoir y seront assujetties à être renfermées entre certaines limites, et ces limites

DES ÉQl'ATIOXS DU DEUXIÈME DEGRÉ.

seront les valeurs maximum et minimum que peut prendre la fonction proposée.

Chassons donc le dénominateur dans l’équation [30] , transposons et ordonnons, et il viendra

Or, pour que les racines de cette équation soient réelles, il faut et il suffit que les valeurs de y soient telles que l’on ait

, (*— Vÿ,*— 4(a— a'y)(e — ^>0, le signe > n‘excluant pas celui d'égalité, ou bien

en développant et posant, pour abréger,

b'1 — 4o'c' = n, 2co'-|-2«c' — bb'^=p, è* — 4 ac = q.,

Trois cas principaux peuvent se présenter, suivant que a est positif, nul ou négatif.

Dans le oremier et dans le troisième cas, les racines de l’équation

, ny*-f 2py4-y = 0 [33] »

peuvent être réelles et inégales, réelles et égales, ou imaginaires. Si elles sont réelles et inégales, il pourra se faire qu’elles soient toutes deux positives, toutes deux négatives, ou que l’une soit positive et l’autre négative.

Dans le deuxième cas, où n = 0, les signes des coefficients p et q donneront lieu aux quatre combinaisons suivantes :

q>,0)’ j<oj’

?>0 ’ y<or

Nous allons passer en revue ces différents cas.

270. 1" Cas, n>0. 1“ y" et y", racines de réquation [33] , .son# réelles et positives, et je suppose

La condition exprimée par l’inégalité [32] revient (244) à

Cela posé, il est évident que, pour toute valeur positive de y t