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i»es KjtivnoNs mi otoxtême degré,

moindre que y'*, les facteurs y— y' et y — y" sont négatifs, donc le trinôme ny’-f 2/»/-f q =n(y — y') (y — y") est positif; donc, en donnant des valeurs convenables à x, y recevra tontes les valeurs moindres que i/, et on pourra même rendre y égal à y', puisque ce tririome se réduira alors à zéro, et que nous avons dit que, dans la condition [32], le signe>n’excluait pas le signe =.

Mais, pour toute valeur de y comprise entre y' et y*', on aura y — y'>0 et y — y*<d, de sorte que le trinôme ny’-f- 1py-\-q étant le produit de deux facteurs positifs par un facteur négatif sera négatif, et l’inégalité [32] ne sera pas satisfaite.

Enfin, pour toute valeur de y plus grande que y", les facteurs y — y' et y — y" seront positifs, et par conséquent le trinôme ni/ 2py -f- q sera positif; d’ailleurs il s’évanouit pour y=y", et ainsi la condition [32] est vérifiée.

En résumé, on voit que y, c’est-à-dire la fonction

, - . ~j~c. peut recevoir toutes les valeurs possibles depuis

nxi-\-b x-\-c r- . . ‘

zéro jusqu’à y’; toutes les valeurs depuis y" jusqu’à l’infmi;

mais qu’elle ne peut prendre aucune des valeurs comprises

entre y' et y". Donc les valeurs m i.mmums de la / onction sont

zéro el y", et ses valeurs maximums sont y' et l'infini.

2° y' et y" sont, négatives . L’inégalité [32] devient alors

ri y* + 2py + 7 = n (y -f y') (y -f y”)> 0,

en mettant en évidence les signes des racines de l’équation [33]. Or, il est évident que, quelque valeur positive que l’on assigne à y, cette condition sera toujours remplie, et qu’ainsi on peut donner à eetle variable toutes les valeurs depuis zér» jusqu’à + oo . Donc 0 et - f- ® sont les çaleurs minimum et maximum (le y.

' Nous supposons qu'on cherche les limites des valeurs positives de la fonction proposée, mais si l’on demandait les limites de scs valeurs négatives, il n’y aurait qu’à changer y en —y dans nos calculs.

DES ÉQUATIONS DU DEUXIÈME DFCRÉ. il l

3° Supposons y'<0 et y"> 0, et, en mettant en évidence le signe de y', l’inégalité [32] deviendra

ni/+2py+g=n(y-\-y')(y—tj")>0-, .

d’où l’on voit que, pour toute valeur positive de y moindre que y", cette inégalité n’aura pas lieu , car les facteurs n et y-\-ÿ seront positifs et y — y" sera négatif; mais si l’on donne à y la valeur y " et toutes les valeurs plus grandes que y", la condition [32] sera toujours vérifiée; donc y peut recevoir toutes les valeurs à partir de y"; donc, le minimum de la fonction proposée est y", et son maximum est l'infini.

A° Supposons que y" =y'; le trinôme ny’-{-2py-f-y deviendra alors égal à n{y — y';*, de sorte que l’inégalité [32] reviendra ’à

laquelle sera toujours satisfaite, quelque valeur que Ton assigne à y. Donc, le minimum de. cette fonction est zéro, et son maximum est -{- oo . '

5° Si les racines deféquation [33] sont imaginaires, le premier membre de cette équation sera la somme de deux quantités de mômes signes que n, c’est-à-dire positives (258) ,

*sr*+2py+$'=T» !(y + f)

donc y pourra recevoir toutes les valeurs possibles; donc elle a zéro pour minimum et -{- ce pour maximum.

271, 2* Cas, n = 0.- 1" Supposons p> 0 etq^>0. Le minimum de la fonction sera zéro, et son maximum sera oc .

2° p>0, y<0. L’inégalité [32] revient à

en mettant en évidence le signe de q. D’où l’on conélura que la fonction a ^ pour minimum , et -}- » pour maximum.

3° p<0, <7>0. On verra de môme que, l’inégalité [32] revenant à

le minimum de la fonction est zéro , et que son maximum est

4° p< 0, ç<0. L’inégalité [32] ne peut évidemment être vérifiée par aucune valeur positive de y ; par conséquent la fonction proposée ne pourra prendre aucune valeur positive, quelque valeur que l’on assigne à x; donc elle n’a ni minimum ni maximum.

272. 3* Cas, n<0. 1° Supposons que y' et y", racines de l’équation [33] , soient réelles et positives , et que y' soit plus petite que y". L’inégalité [32] revenant à n(y—y')(y—yH)> 0,

on voit que l'on ne peut pas donner à y des valeurs moindres que y' ou plus grandes que y"; car, pour de pareilles valeurs, son premier membre sera le produit de trois facteurs négatifs ou d’un facteur négatif par deux facteurs ppsitifs, et ainsi il sera négatif. Au contraire, on pourra assigner à y toutes les valeurs depuis y = y' jusqu’à y = y"; en effet, lorsque l’on fera y~y' ou ÿ=y, le premier membre de notre inégalité se réduira à zéro, et, pour toutes les valeurs intermédiaires, il sera positif; car le facteur y — y" sera négatif, ainsi que n, mais y — y' sera positif. La fonction y a donc un minimum qui est y' et un maximum qui est y*.

2* Soient y'< 0 et y"< 0. On aura, en mettant en évidence les signes de y' et de y",

ny'+*py+q=n(y+ y'Ky+y"),

quantité qui restera négative , quelque valeur que l’on assigne à y. Donc cette fonction ne peut devenir positive pour aucune valeur de x, et par conséquent elle n’admet ni minimum ni maximum.

3° Soient y'<0 et y>0. On a alors

ny'+2py + q=n(y+ÿ){y— •/)-, .

d’où l’on voit que la condition exprimée par l'inégalité [32] ne sera remplie qu autant que l’on n’assignera pas à y des valeurs

plus grandes que y" ; ainsi la fonction proposée pourra prendre toutes les valeurs depuis zéro jusqu’à y", donc elle a zéro pour minimum et y" pour maximum.

A° y" = y'. Alors

«y* 4 '2py + ? = «(y — y?,

de sorte que, pour toute valeur positive de y autre que y', l’inégalité [32] ne pourra pas être satisfaite. La fonction n’admet donc pas d’autre valeur positive que y’, et ainsi elle n'a ni minimum , ni maximum.

5° Supposons enfin que les racines de l’équation [33] soient imaginaires: le trinôme ny’-f 2py-j-y conservant alors constamment le signe de n (259), sera par conséquent toujours négatif, et ainsi la fonction proposée ne pourra prendre aucune valeur positive, et n’aura ainsi ni minimum ni maximum.

273. Pour déterminer les valeurs de x qui font acquérir à la fonction proposée les valeurs-limites que la discussion précédente aura fait découvrir, il faudra substituer ces limites dans l’équation [31], et on résoudra ensuite l’équation résultante.

Mais si l’on remarque que ces valeurs minimum ou maximum autres que zéro et l’infini , étant les racines y' et y" de l'équation [33], leur substitution dans l’équation [31] rendra égales les racines de cette équation , de sorte que chacune d’elles sera la moitié de leur somme ; on voit que, pour obtenir ces racines, il n’y aura qu’à dégager x* de son coefficient a — o'y, ce qui «lonnera

et à remplacer dans

moitié du coefficient de x

pris en signe contraire, y par /ou par y". En effet, lorsque l’équation du deuxième degré est ramenée à la forme x*-[-px-}-y=0 , la somme de ses racines est égale au coefficient de x, pris en signe contraire (24iS). ’ •

Si y a l’infini pour maximum , avant de faire cette hypothèse

Df S EQTAT10NS du deuxieme de»*.

dans I équation [31] , on divisera tous les ternies de cette équation par if, puis on supposera, dans l’équation résultante, que g

croisse au delà de toute limite, ce qui fera évanouir tous les termes qui auront y pour dénominateur. Or, ceci reviendra à égaler à zéro le dénominateur a'x* -J- b'x -|- c' de la fonction proposée.

O11 pourra encore, dans tous les cas, remplacer y par sa valeur dans la formule qui donne l’expression des racines de l’équation [3l] , et lorsqu’on devra y faire y=« , on agira comrn** nous l’avons indiqué au n° 149.

274. Problème T. Partager un nombre donne a en deux parties dont le produit soit maximum.

Soit x l’une des parties demandées, a — x sera l’autre, et leur produit aura pour expression x(a — x); si donc on représente par y la valeur variable de cette fonction , on trouvera

x\u — x) = y, d’où x* — <»x + y = 0 [34].

Pour que les racines de cette équation soient réelles, il faut et il suffit que l'on ait ,

«’ — 4y^0, d’où y^

Doue , la plus grande valeur que l’on puisse assigner à y est ^ .

Les racines de l’équation [34] devenant égales ponr cette valeur

de y, chacune d’elles sera égale à - (275(\ Ainsi, pour partager

un nombre donné en deux parties dont le produit soit maximum, il faut le diviser en deux parties égales, et la valeur maximum du produit sera le carré de la moitié du nombre donné.

273. Il suit de là qne, pour partager un nombre donné en ni parties dont le produit soit maximum , U faut le diviser en ni parties égales. En effet , soient a le nombre dont il s’agit , et x,, x,, Xj. ..x. les m parties dans lesquelles on l’a décomposé et dont le produit est maximum; je dis qu’on aura

DSS ÉQUATIONS W DEUXIEME DÉI.MK. 215

Xjz=Xi=x,= .. . = xm ; csu-, si x, n’est pas épi a,x* ou pourra substituer à celte décomposition la suivante :

et le produit de ces m -parties de a sera plus grand que X\.x\ .x*...xm, puisque la somme des deux facteurs égaux —

et £±Ü étant la même que celle de xt et de xt, le pro-

(X -t-éT \ * • *

>*f .xt. Donc, les m parties de a sont épies.

276. Problème II. Décomposer le nombre a en deux facteurs dont la somme soit minimum.

Soit x l’un des facteurs demandés , l’autre sera représenté par^, de sorte que l’équation du problème sera

x-\-- — y, d’où x* — yx + a = 0.

La condition dé réalité des racines de cette équation est

y ’ — 4«^o. d’où

donc, le minimum de y est 2 >Ja, et la valeur correspondante

de x sera \ — y/a. Ainsi , pour décomposer un nombre donné eu

deux facteurs dont la somme soit minimum, il faut le décomposer en deux facteurs égaux, c'est-à-dire extraire sa racine carrée, et cette somme minimum sera égale au double, de cette racine carrée.

On démontrera, comme au n° 27iS, que , }K>ur décomposer

un nombre donné en ni facteurs dont la. somme soit minimum, il faut le décomposer en m facteurs égaux.

277. Problème 111. De tous les triangles rectangles qui ont la même ki/poténuse a, quel est celui qui a le plus grand ou k plus petit périmètre?

DES KQI'ATIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ.

Soit x un des côtés de l’angle droit, l’autre sera y /a*—x*, et, en désignant par y la somme de ces deux côtés, on aura

. d’où, en faisant évanouir le radical et transposant ,

> 2x* — 2yx -f- {y1 — «*) = 0 [35].

La condition de réalité des racines de cette équation est

2a* — y*.^0, d’/où y ay/5-

Ainsi , le maximum de y est oy/2 : donc , de tous les triangles rectangles qui ont la ligne a pour hypoténuse, celui qui a le plus grand périmètre est isocèle, et ce périmètre est égal à cette hypoténuse augmentée de la diagonale du carré dont elle est un des côtés.

Si l’on observe que x ne représentant pas un des côtés de l’angle droit plutôt que l’autre, l’équation [35] doit avoir pour racines les longueurs de ces deux côtés, on en conclura que ces deux racines doivent être positives, et qu’en conséquence son premier membre doit présenter deux variations (238); donc il faut que

• y * — «*>0, d’où y>fl.

Le minimum de y est donc a, et alors l’une des racines de l'équation [35] étant nulle, on voit que ce triangle se réduit à son hypoténuse, ainsi qu'on pouvait le prévoir.