V. DES EXPRESSIONS IMAGINAIRES
ax1 -|- bx -(- c =t 0 ’
nous a conduit à des expressions de x qui deviennent imaginaires lorsque 6* — 4ao<C0. Ces expressions sont alors, comme nous l’avons démontré, la conséquence d’une absurdité dans l’équation proposée (238); cependant elles n’en vérifient pasmoins cette équation, si on les traite d’après les règles ordinaires de l’ai-
(fibre , et que l’on considère le carré de la racine carrée d’une quantité négative comme étant cette quantité elle-même, ce qui est conforme à la définition de la racine carrée. En effet, en
remplaçant a; par deviendra
-êdry/é’ — 4ac 2a
, le trinôme
6*rp 2 b\J 6* — 4ac-\-b‘ — 4ac — 6*± b \Jb' — 4ac
ou, én réduisant,
b ' bv’¥^
-4ac
b * b\Zb'—4ac
et il est évident que cette quantité est identiquement nulle.
270. Les racines imaginaires des équations du second degré peuvent se ramener à la forme
x— adbfiy/ — 1 »
a et ^ désignant des quantités réelles.
Considérons en effet l’expression y/— A , et désignons par a la racine carrée absolue de la quantité positive A : nous pourrons poser y — A =. ay , pourvu que le carré de aj soit égal à
— A ; ainsi on aura
a'y'= — A, d’où ;/’= — 1,
puisque a étant la racine carrée de A, on a a*= A. On tire de là y=:±y/ — 1 , et par conséquent, si l’on convient d’indiquer par rfcay/ — 1 le produit de a par ±y/ — 1 , on aura
Cela posé, la formule
— b ± \b i* — 4ac X~~ 2a
revient à
DES «QUATIONS BU DEUXIÈME DKURE.
en effectuant la division de chaque terme du numérateur par le
dénominateur 2fl. Si donc la quantité ^ — - est négative, et
que l’on représente — — par « et la racine carrée de la quantité positive ^ par 8 , cette formule deviendra
*200. Remarquons que quand 6’ — 4ac=0, jl qui représente la racine carrée de ^ — —'j = > devient zéro, et qu’en
même temps les deux valeurs de x se réduisent à — c’est-à-
dire à a : pour rendre la formule — l applicable au
cas où U1 — Aac = 0 , on conviendra que le produit [l\ / — 1 devient nul lorsque fl = 0.
281. D'après ce que nous avons établi au n°278, lorsque des expressions imaginaires de la forme a±py/ — 1 * entreront dans un calcul, sans leur attaclter aucune idée de quantité, ce qui serait absurde, nous conviendrons, de les soumettre aux règles mêmes que nous avons établies pour les quantités réelles.
282. ' Par conséquent, nous devons admettre comme vrais , pour des expressions imaginaires de la forme ai-py^ — 1> tous les «théorèmes que nous avons établis pour des quantités réelles , et dont les démonstrations sont fondées uniquement sur les règles du calcul de ces quantités. Ainsi , la démonstration que nous avons donnée de ee principe : une équation du deuxième degré n’a pas plus de deux racines (228j, s’applique au cas où ces racines sont des imaginaires de la forme odipy/ — 1 ; mais elle ne prouve pas qu'une pareille équation n’a pas de racines imaginaires d’une autre forme, parce que les
* Oo entend , en général , |>ar expression imaginaire toute expression qui n’est su'sceplible d'aucune valeur réelle, soit positive , soit négative. Ainsi toute racine de degré pair d'une quantité négative est imaginaire. Telles sont \f—2, y/ — 2 , y'— 2, etc.
DES ÉQUATIONS MJ DEUXIÈME DIfiRÉ. 219
règles relatives au calcul de ees autres expressions imaginaires n’étant pas établies, nous ignorons si les théorèmes sur lesquels
nous nous sommes appuyé dans cette démonstration seraient encore vrais pour de pareilles expressions.
3285. Remarquons toutefois que, dans toute la suite de cet ouvrage , nous n’aurons à considérer que des expressions imaginaires telles que «±^ — 1; ainsi, quand nous écrirons le mot imaginaire , on devra toujours entendre qu’il s'agit d'une expression de cette forme.
284. Sil on combine successivement par voie d’addition, de soustraction, de multiplication et de division les deux expressions imaginaires — 1 et “’+?V — 1 • on trouvera que
(a+Pv/^T).+ («'+py=ï) = (,+«■) + ; (a-fpyCTÏ) {y+py=T ) =(«-«') + (8-?V=l ;
(«+P V X (x'+gV-T) = «rf+p,7Z3+.py=ï—
=(w'-pp,)+(P*,+«P')V-1;
g-f-Sv' — -î (a4~g v'~ ~ï : i g' — ftV — i)*
Ca“,"^■3S!)-t-(gg, — »P’ ' V/- — I aa-j-pp" . 3i' — «fi1 j— -
En comparant le deuxième' membre de chacune de ces éga-
* On a indiqué le quotient de la division de a + |t y^~» par a* -f p' v^ï sous la forme d'une fraction, et oh a multiplié les deux- termes de celte fraction par a— pV— T, ali n que le dénominateur, devenant l« produit de la somme de deux quantités par leur différence , se réduise à la différence des carrés de çes deux quantités, c’est-à-dire à .une quantité réelle.
Une transformation analogue s’emploie fréquemment pour rendre rationnel le dénominateur d'une frai-lion, quand il se compose d’un terme ' commrnsurahle et d’un terme incommensurable du deuxième degré. Ainsi, par exemple , si l’on a les deux expressions
lités au premier, on reconnaît que, lorsque ton soumet des expressions imaginaires aux quatre premières opérations de l'algèbre , le résultat est toujours une expression imaginaire de la même forme a -{- p / — 1 . <
• Nous verrons pîus tard qu’il en est encore ainsi pour l’extraction des racines d’un degré quelconque; mais nous pouvons le vérifier dès à présent pour la racine carrée.
• - En effet, les formules [24] et [25] que nous avons établies au n" 260 étant vraies, quelques valeurs que l’on y attribue aux lettres A et B, puisqüe l’on retombe sur des identités en élevant au carré les deux membres de chacune , nous pourrons y faire A = ot et ^8=1^ — 1, ou B = — p’, et on trouvera ainsi que
Or,
« + vA»1+P1
est une quantité positive
que nous pouvons
représenter par a'1 ; mais
est une quantité négative
que je désignerai par — p’’; nous aurons donc
v/a±pv^=r=a'±;pv=i,
ce qu’il fallait démontrer.
285. Si , dans ces mômes formules [24] et [25] du n® 260 , on fait A=0 et B=— 1, d'où ^À*— B=1, on en tirera
On déduit de ces formules ce résultat remarquable
on ibulUpliera les deux termes de la première par a — yjb et ceux de la seconde par a + Jb ; ce qui donnera
a + yj~b a'~b a -y/b a'~b
Ces transformations doivent être remarquées avec soin.
2 HO. Remarquons que les quatre premières puissances de +V — 1 étant
(+^=t)'i+^=î! (+y=î)’=-i, (-iv=ï)'=y=î.
si I on forme les puissances suivantes de -f y — 1 , on retrouvera périodiquement
On peut donc établir les quatre formules qui suivent :
(+v/=î)‘=+i, (+^)‘»+1=+vC^ )
(+^r"^-i,(+v/=ir+,=w==r )
On en déduit
(v/=Tr=+i, (-v/=I)'"+,=-vc=T )
(-iFïr*-^. (-tFîr,«+/Fï )
Ces formules conviennent à toutes les puissances, car tout nombre entier est nécessairement de la forme An, An -j- 1 , ■4»-}- 2 ou 4n + 3.
287. Si l’on extrait la racine carrée de la somme des carrés des deux quantités a et fl, le résultat -f vV+P’ est dit le module de l’expression a-J-fiy/ — T. Ainsi, le module de A + 3 y/ — 1 est + y/Ï6+9 =+5.
2H8. Deux expressions imaginaires sont dites conjuguées lorsqu'elles ne diffèrent que par le signe du coefficient de y' — j . Telles sont a-j-jly/ — 1 et a — fiy' — 1. Deux pareilles expressions ont le même module.
289. Théorème I. Pour qu'une expression imaginaire ' b -f- p y/ — 1 soit nulle , il faut et il suffit que son module -|- y/a’ -)- fs’ soit égal à zéro.
En effet, si le module y^a’-j-p* n’est pas égal à zéro, a et p ne seront pas nuis en même temps, et par conséquent a 4-jV — 1 ne sera pas non plus égal à zéro. En second Heu, si v «*+P! est (
nul , « et p sont nécessairement égaux à zéro, et alors a -|- pv/— I est identiquement nul (280j.
200. Théorème II. Le module du produit de deux facteurs imaginaires est égal au produit de leurs modules.
En effet, nous avons vu que le produit de a -|- $\J — 1 par «'-f'PV'— 1 est (<*»' — P?’) 4" («p'-fP»'V — 1, et qu’ainsi le module de ce proiiuit est
. - vAW- $?+ W+ F )’= v/aî«,*+p,p',+aT+?«'i,
en effectuant les opérations indiquées sous le radical et réduisant ensuite. Mais si l’on met a’ et ft’ en facteur commun des quantités qu’ils multiplient, on trouvera enfin que l’expression de ce module revient à
ce qui démontre le théorème, car les modules des deux facteurs que nous avons multipliés sont respectivement v/a’-j-p* et yV’-f p.
28 1. Théorème III. Le module du quotient de ta division de deux expressions imaginaires est égal au quotient de leurs modules. Soient, en effet, a-f — 1 et a'-{- pV— l , ces deux
expressions, et a'-j-pV — 1 Leur quotient (284) : on aura
« 4- ftCÏ = («'+ PV^) («"+. PV=ï) »
et par conséquent (290)
V«^=V/i^^V/^^=r, d’OÙ y/TMf^-7^,
ce qu’il fallait démontrer.
292. Théorème IV. Pour qu'un produit de facteurs imaginaires soit nul , il faut et il suffit que l'un de ces facteurs soit égal à zéro.
En effet, le produit de plusieurs facteurs imaginaires étant lui-môme une expression de la même forme *- f-py' — 1 (284), pour que ce produit soit égal à zéro, il faut et il suffit que son
module soit nul (289); or, ce module est le produit des modules des facteurs que l’on considère (290), et ces modules sont des quantités réeHes, de sorte que leur produit ne peut être nul qu’autant que l’un d'eux est égal à zéro *; mais alors le facteur imaginaire correspondant à ce module est zéro, donc notre théorème se trouve démontré.
* Il suit évidemment de la définition de la multiplication (Arxlh., 23), qu’un produit de quantitêt réelles n’est pas nul, si aucun de ses facteurs ne l'est; et qu'au contraire, il est égal à zéro si le multiplicande étant nul, le multiplicateur est couuiieusurable ; il en est de même si ce multiplicateur est irrationnel, puisque le produit est alors la limite des produits que l'on obtient, en remplaçant ce multiplicateur incommensurable par des facteurs commensurahles qui tendent a en différer d'une quantité moindre que toute grandeur donnée' (drtrh., 238'. Si c'est le multiplicateur qui est nui , le produit est encore égal à zéro , car si l'on considère le produit a. b de deux qua Alités réelles et Unies, il sullira, pour le rendre moindre qu’une quantité donnée S, de donnera b une valeur
moindre que donc lorsque le fa leur b tend vers zéro, le produit a.b
tend aussi vers zéro. Donc pour qu'un produit de facteurs réels et finis soit nul, il faut et il suffit que l'un d'eux le soit.
On ne saurail conclure immédiatement qu’il en est de môme d’un produit de facteurs imaginaires, car on conçoit très-bien que les termes d'un pareil produit pourraient s'entre-détruire, sans qu'aucun de ces fadeurs fût égal à zéro.
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