Le grand nombre de cas dans lesquels on ne peut ex
traire exactement les racines, et la longueur de l’opération nécessaire pour les avoir par approximation, ont conduit les géomètres à transformer les opérations indiquées sur des radicaux en d’autres opérations telles que l’extraction de la racine fût rejetée à la fin du calcul, pour n’avoir à l’effectuer que sur les expressions les plus simples que l’on puisse obtenir. Nous allons, en conséquence, nous occuper immédiatement du calcul des radicaux. ■-
300. On dit que deux radicaux sont semblables lorsqu'ils ont le même indice, et quapres les avoir simplifiés autant que possible ( 296), les quantités soumises à ces radicaux sont ellesmêmes semblables. Telles sont les expressions y 400*0’ et y bab%, car elles reviennent respectivement à 2a y bu b’- et à b y 5a s.
301. V addition et la soustraction des radicaux s’e/fectuenl de la même manière que l’addition et la soustraction des quantités rationnelles, et, si le résultat contient des radicaux semblables, on en fait la réduction (29).
Exemple. (2a \la*b -j- 5 b\'aj -f-(3J'y/a — 4a y/a’û -f- 5 ab \!ab ) — {flab\ab — 3« y a’ô)'— 2« yaV'-j- 5 é y/a -j- 3 6 y'a — Aaÿfu'b -|- babifüh — itibyfab -f- 3ay a'b— ay «’ô-J- 8û\ «-j- 3ab\'ab.
302. On distingue deux cas dans la multiplication et dans la division des quantités radicales, selon que les radicaux ont ou n’ont pas les mêmes indices.
1* Pour multiplier ou pour diviser l'un par l’autre deux ra •. dieavx de même indice, il faut faire la multipliealianjou la division des quantités soumisès'à ces radicaux et couvrir le résultat du radical commun. Ainsi
vaXyû=vëiû, et y/?.
• t * ■ . fi
En effet, si on clève, par exemple , ^ à la puissance m , on
trouvera car, pour élever une fraction à une certaine puissance, il faut élever ses deux termes à cette puissance (84) ,
donc la fraction ~ est la radine m"" de - ( Arith ., 190).
■ qb "
2° Si les deux radicaux que F on veut multiplier ou diviser l’un par l'autre n'ont pas le même indice , amies y réduit ce qui ramène au cas précédent.
Occupons-nous donc de la réduction des radicaux au même indice. Nous établirons d'abord le principe suivant:
503. On n'altère pas la valeur (Fvn radical en multipliant l'indice de ce radical par un certain nombre entier et positif , pourvu que t on élève fa quantité qui lui est soumise à lapuisscmce dont rexposant est égal à ce nombre. En effet, on a identiquement
(vâ)m=a;
si on élève les deux membres de cette égalité à la puissance» , il viendra (294)
ce qui exprime que \/a est la racine du degré mn de a" (Arith., 190k donc
cette égalité démontre le principe énoncé, et nous apprend, eu outre que Von n'altère pas la valeur d'un radical, en divisant son indice par un certain nombre entier , pourvu que l’on extraie en meme temps de la quantité qui lui est soumise une racine dont T indice est égal à ce nombre.
304. Cela posé, pour réduire plusieurs radicaux au même indice, on cherchera le plus petit multiple de tous leurs indices ; on divisera ce plus petit multiple successivement par chaque indice, puis on multipliera V indice de chaque radical jmm le quotient correspondant , et on élèvera en même temps la quantité
' PUISSANCES ET RACINES
soumise à ce radical à la puissance dont l'exposant est égal à ce quotient*. 11 est évident, en effet, que de ;cette manière cha- f
que radical a conservé sa valeur (.503) et que chacun a actuellement pour indice le plus petit multiple dés indices primitifs.
Exemple. Faire le produit des quantités . {sr. rp et
Lepluspetitmultiple de A et de 6 est 12; — 3 , -g- — 2 ; donc
X fôTV = .{a'+W—\ (a*— è,)*.(a*— 6*).
303. Pour élever un radical à une certaine puissance, on élève à cette puissance la quantité qui lui est soumise; ainsi (fa)m=m^. En effet, il résulte de la règle donnée pour multiplier entre eux plusieurs radicaux qui ont le môme indice, que pour élever ÿ/a à- la nm * puissance, il faut faire le produit de » facteurs égaux ha , ce qui donnera a", et extraire de ce résultat la racine Donc
300. Si l’indice du radical est divisible par l’exposant de là puissance, on devra le diviser par cet exposant. En effet, on a
307. SiC indice du radical et l’exposant de la puissance ont un facteur commun, oh devra diviser l'indice parce facteur, et élever la quantité soumise au radical aune puissance dont l’exposant est égal au quotient de celui de la puissance proposée par ce même
facteur. Ainsi (7 aj* = ÿ/ar. En effet, on a
(7 a)*’ = 7ô* (303) = 'y/àr (303).
* It est bon de remarquer l’anatogte qui existe entre celte rfe~’e et celle que Von suit pour réduire plusieurs fractions au plus petit dénominateur commun.
508. Pour extraire une racine d’un radical, on multiplie l’indice de ce radical par celui de cette racine. Ainsi vÿâ=”/â. En effet, nous.venons de voir (505) que
. • : . (7^=fa
ce qui signifie que"vy a est la racine nm* de \a.
500. Si la quantité soumise au radical est une puissance parfaite du degré de la racine à extraire, on devra extraire cette
racine; ainsi Vv'â" = En effet,
ce qui signifie que y 'h est la racine de ÿ a".
