résulte immédiatement de là que si l'on a plusieurs

racines successives à extraire , on pourra intervertir l'ordre dans lequel on doit extraire ces racines; y y' a a— yÿ’a.

511. Nous avons v u que la racine carrée d’ un nombre avait deux valeurs, et nous démontrerons plus tard qu'un radical a toujours autant de valeurs distinctes qu’il y a d’unités dans son indice t or, dans tout ce qui précède , nous avons constamment supposé que les quantités radicales que nous considérions étaient réelles, et nos raisonnements ont porté uniquement sur les valeurs absolues des radicaux ; il faut donc bien se garder d’attribuer aux règles, établies ci-dessus, une extension plus grande que celle que nous leur avons donnée , autrement On s’exposerait à des erreurs grossières. Ainsi, par exemple, si, considérant l’expression y/ — a*, on multipliait l’indice du radical par 2, et qu’on élevât au carré la quantité soumise au radical, on trouverait y/ — a’= fâ—±:a, ce qui est évidemment absurde, et cependant on aurait appliqué exactemertt le principe du n* 505. Nous verrons plus tard comment doivent se modifier les règles que nous avons établies plus haut, lorsque l’on veut considérer les radicaux dans toute leur généralité ; toutefois nous allons examiner ici quelque»-uns des cas qui se présentent le plus

230 * PUISSANCES ET RACINES

souvent, lorsqu’on a à multiplier entre eux <ies radicaux imaginaires. IVons supposerons que chaque radical n'ait pas d'autre signe que celui dont il sera affecté.

1® Soit à multiplier -f- \f — a par -j- y/ — a; la règle du n° 269 donnev/-f-«' = ±a. Ainsi il semble qu’il y ait incertitude sur la valeur de ce produit. Est-il -(-a ou — a? Pour lever celte difficulté, je rappellerai l'observation que j’ai déjà faite (198), savoir, que quand on ignore comment a été formé le carré -f-o’, et qu’on demande sa racine, on doit assigner également -f- a et — a, pour cette racine; mais que si l’on sait d’avance laquelle de ces deux quantités a été multipliée par elle-même, pour former -}- il n’est pas permis, quand on revient sur ses pas , d’en prendre une autre. Or, ce cas est celui qui se pré^ sente ici : car, puisque la quantité -J- a* comprise sous le radical y/-j-a’, provient de — cX — a, l’ambiguïté cesse et la racine carrée de -j-a* est certainement — a; donc -J-y( — aX + y/ — a = — a, ce qui est d’ailleurs une conséquence de la définition de la racine carree.

2° Soit -}- y/— â X — \/~b. La règle du *n° 302 donne — (/aô). Or devra-t-on prendre la racine carrée de ab positivement ou négativement, et écrire -j-y/ — «X — y/ — 6 = -fy/Ô6 ou = — y Zabi Pour cela, j’observe que, en désignant par a et par p, les racines carrées respectives de à et de b, on a (279) + V — a = + *y/ — 1 et — y / — b = — Py/ — 1, et qu’ainsi

-fy/^âx — y/—b=— ap.(yd)*=— ap x— 1 = + «P