IV. CALCUL DES EXPOSANTS FRACTIONNAIRES

312. Nous avons vu que si les exposants des lettres qui entrent dans un monome, sont divisibles par l’indice de la racine à extraire, on obtient celte racine en divisant chacun de ces exposants par cet indice; mais si ces divisions ne peuvent pas se faire exactement , il se présente naturellement A l’esprit l’idée d’indiquer l’extraction de la racine,

DE» QCAXTITÉS ALGÉBRIQUES. 231

en indiquant la division de chaque exposant par l’indice de

celte racine. Ainsi nous conviendrons désormais que et a” ’ seront deux expressions équivalentes,' c’est-à-dire qiftm exposant fractionnaire signifie qu’il faut élever la quantité, au-dessus de laquelle il est placé , à la puissance marquée par son numérateur, et extraire du résultat une racine dont C indice est égal à son dénominateur.

313. Examinons maintenant quelles sont les règles qu'il faudra suivre dans le calcul des quantités affectées d'e.rposanfs fractionnaires. Ces régies sont les mêmes que celtes que l'on observe quand ces exposants sont entiers. Cela est évident pour l’addition et pour la soustraction, considérons donc d’abord le cas de la multiplication :

I* Soit «C a‘, je dis que le produit est (fl \ En effet, o'=v«',

«■= ÿ ur ; donc a’ . a*= y ar . ÿ; ar= y ar,+qrt ou , en revenant aux exposants fractionnaires ,

t ’z eue. j • aq .a’ — a ’’ =aq

Il suit delà que le symbole cr a sur "a* l’avantage de conduire tout de suite à la simplification (jont ÿ/a* est susceptible, lorsque

Car soit n=mq-\-r, on aura om=«, m— a". am = aq y ur.

aq .

2* On démontrerait de même que — = aq \

3° Proposons-nous maintenant d’élever le monome aq à la puissance dont l’exposant est la fraction r~. Cela revient à ex- .

traire la racine s1”* de la r"1* puissance de ce monome. Ainsi, en substituant aux exposants fractionnaires les expressions radicales qu’ejles remplacent , on trouvera successivement

(aî) ’ = \l(!/â?y= y ^(SOü) = ’y/HF (30B)=a’*(312).

Donc pour élever à une certaine puissance une quantité mo-

PUISSANCES ET BAGNES

nome affectée d’un exposant fractionnaire, il faut, comme pour les exposants entiers, multiplier l’exposant du monom e par celui de la puissance à laquelle on veut l' élever.

Cette règle comprend évidemment le cas de l'élévation d’un monome à une puissance entière et celui de l’extraction des racines , car on peut , dans la démonstration précédente., supposer s = 1 ou r = 1 .

514. Considérons actuellement des quantités affectées d’exposants incommensurables, mais auparavant définissons soigneusement ce qu’on doit entendre par une puissance de degré irrationnel d’une quantité. C'est la limite vers laquelle tendent tous les résultats que l’on obtient , lorsque l’on remplace l'exposant incommensurable par des valeurs rationnelles qui tendent à en différer d’une quantité moindre que toute grandeur donnée.

515. Supposons que, « et p étant deux quantités incommensurables, on ait à multiplier a* par a\ Soient a' et p' deux quantités commensurables variables qui peuvent approcher respectivement de a et de p d’aussi près que l’on voudra ; cela posé , on a, d’après ce qui précède (515),

et cette égalité subsistera toujours , lorsque i! ët p tendront à devenir égaux à « et à p. Or, lorsque deux quantités variables restent constamment égales entre elles , dans tous les états de grandeur par lesquels elles passent , leurs limites sont égales { Arith ., 257); mais les limites de a*' et de A1*' sont a* et a? (51 4), de sorte que la limite du produit a^Xa*' est a*Xaf, et que celle de cf'+v est e*+f ; donc

. . a*X ûf=a*+p.

La règle que l’on observe dam la multiplication des quantités affectées d'exposants incommensurables est donc la même que quand ces exposants sont commensurables. Il en est de même o ur la division , l’élévation aux puissances et f extraction des

racines , car il est évident que la démonstration précédente s’appliquerait à ces différents cas.

' ' 516. Si , m et n désignant deux quantités positives fractionnaires ou incommensurables, m est plus petit que n et que l’on appelle p leur différence n — m, on aura

= a"-" = or1’, et comme — = — r=— .• o” ’ a" a*-" ar >

on en conclura, comme au n° 56, que a-” et ^ sont deux symboles équivalents, de sorte qu’il y aura des exposants fractionnaires ou incommensurables négatifs, de même qu’il y en a de positifs. Or, en reprenant pour ces nouveaux exposants, les raisonnements que nous avons faits au n” 60 , on verra qu’il faut, dans le calcul dés quantités affectées d’exposants fractionnaires ou irrationnels négatifs , suivre les mêmes règles que 'pour les exposants positifs.

11 est donc démontré que les règles du calcul des quantités affectées d’exposants sont indépendantes de la nature de ces exposants, qu'ils soient entiers ou fractionnaires, eommensurabks ou incommensurables, positifs ou négatifs.