V. DES COMBINAISONS

. N. B. Pomme la théorie de la formation des puissances des polynômes est fondée sur celle des combinaisons , nous allons développer d’abord cette théorie , afin de ne pas interrompre plus tard la suite des raisonnements.

517. On appelle arrangements tous les groupes que l'on obtient, en disposant à la suite les uns des autres, et dans tous les ordres possibles, 2 à 2, 3 à 3, 4 à i, etc., un nombre déterminé d’objets , de manière que le mèmè objet n’entre qu'une fois dans chaque groupe. Ainsi tous les mots de 5 lettres , que l’on peut former avec les 25 lettres de notre alphabet , sont tous les arrangements de ces 25 lettres 5 à 5, pourvu toutefois qu’une même lettre n’entre pas deux fois dans le même mot.

234 wissancrs et racines ,

318. Problème 1. Déterminer le nombre des arrangements que Con peut faire avec m lettres prises n « n.

l’observe d’abord qne m lettres prises 1 à 1 donnent évidemment»» arrangements : d’où il sait que si, connaissant le nombre des arrangements de m lettres (n — !) à ( n — f), on pouvait en déduire le nombre des arrangements de ces m lettres n à n, le problème pourrait être regardé comme résolu, puisque du nombre des arrangements 1 à 1 , on déduirait celui des arrangements 2 à 2, de celui-ci on passerait au nombre des arrangements 3 à 3 , et ainsi de suite. .

Supposons donc formés tous les arrangements des »w lettres (»i — l)à ( n — 1) : représentons leur nombre par A»i et par A, le nombre des arrangements de ces m lettres » à n. Si, à la droite de chaque arrangement de (» — 1) lettres, on écrit successivement chacune des j»n — (n — 1)J lettres qui n'y entrent pas, chacun de ces arrangements eh fournira évidemment ! m — (» — 1)) de » lettres, et par conséquent le nombre total de ces nouveaux arrangements sera égal à autant de fois )m — (n — l)j qu’il y a d’unités dans A„i, c’est-à-dire qu’il sera égal à A*,.j»» — (n — l)f. Or, je dis qu’on aura formé ainsi tous les arrangements de m lettres n à ». En effet, soit abc....rs un quelconque de ces arrangements : si on en retranche la dernière lettre, il restera un arrangement abc....r de (n — I) lettres, lequel se trouvera ainsi compris parmi ceux dont nous avons représenté le nombre par A„i ; donc , puisqu’à la droite de chacun de ces arrangements on a écrit successivement chacune des lettres qui n’y entrent pas, la lettre s a été écrite à la droite de abc....r, et par conséquent l’arrangement abc....rs a été formé, donc on a obtenu tous les arrangements des m lettres « à ». D’un autre côté, tous les arrangements que l’on a formés sont distincts, car deux d’entre eux diffèrent nécessairement ou par la dernière lettre , ou au moins par l’ordre des lettres qui la précèdent; donc enfin » • * ; • •

An = A*,.| m— (» — l)J fl}.

Ainsi, en faisant successivement » = 2,= 3, = 4,.». dans celte formule, on trouvera, puisque A , — m,

A*= A,(m — 3) = m(m — i)(m — 2) (m — 3) ; etc. ,

pour expression du nombre des arrangements de m lettres prises 2 à 2 , .3 à 3 , 4 à 4 , etc.

Mais, pour obtenir la formule générale demandée , on reiiN placera n sùccessivement par n — 1, n — 2,.... 3 et 2 dans l’équation [I], ce qui donnera

Ai = Ki (in — 1) ,

Si on multiplie membre à membre toutes ces équations avec l’équation [fl, on verra que le produit A„-|A„i...AtAi est facteur commun aux deux membres de l’équation-produit ; on pourra donc le supprimer , et, en remplaçant A, par m, on trouvera ainsi

De là cette règle r Du nombre total des lettres, retranchez successivement les nombres entiers de la suite naturelle depuis zéro jusqu'à celui qui marque le nombre des lettres , moins un, qui doivent entrer dans chaque arrangement ; multipliez tous ces restes entre eux , et vous aurez le nombre des arrangements demande. ,

319. On appelle permutations Ions les groupes que l'on obtient., en disposant les uns à la suite des antres et dans tous les ordres possibles , un nombre déterminé d'objets , de manière que tous ces objets entrent dans chaque groupe et que chacun n'y entre qu'une fois. Tels sont tous les changements d’ordre que l’on peut faire subir aux facteurs d’un produit.

PUISSANCES ET RACINES

520. Problème il. De combien de permutations un produit de n facteurs est-il susceptible ?

J’observe d’abord qu’un produit de deux facteurs donne évidemment deux permutations : d’où il suit que si, connaissant le nombre des permutations d’un produit de (n — 1) facteurs, on pouvait en déduire celui d'un produit de n facteurs, le problème pourrait être regardé comme résolu , car du nombre des permutations d’un produit de 2 facteurs, on déduirait celui des permutations d'un produit de 3 facteurs; de celui-ci, on passerait au nombre des permutations d'un produit de A facteurs, et ainsi de suite.

Supposons donc que l'on ait mis de côté l'une des n lettres, et qu’on ait ensuite formé toutes les permutations dont est susceptible le produit des (n — 1) facteurs restants. Soient P„, le nombre de ces permutations et P. celui des permutations que l'on peut faire avec n lettres. Si maintenant on écrit la lettre isolée; à la droite de chaque permutation de (n — 1) lettres, il en résultera Pa t permutations de n lettres , terminées par celle dont il s’agit ; de sorte qu’en faisant passer cette lettre successivement par toutes les places , en allant de droite à gauche , on obtiendra autant de fois n permutations de n lettres qu’il y a d’unités dans P„i ; c’est-à-dire que le nombre de ces permutations sera égal à nP„,. Or, je dis qu'on aura formé ainsi toutes les permutations dont notre produit de n facteurs est susceptible. En effet, soient csb...ra, une quelconque de ces permutations et s la lettre qu'on avait d’abord isolée; si on la retranche, il restera une permutation cb...ra de (n — 1) lettres, laquelle a ainsi été formée. Comme on l’a placée à la droite de toutes les permutations fournies par le produit des (n — 1) lettres restantes, cette lettre s a été écrite à la droite de cb...ra, ce qui a donné cb...ras; mais on lui a fait parcourir toutes les places, en allant de droite à gauche , donc elle est venue se mettre à la gauche de b, et par conséquent la permutation csb...ra a été formée. De plus, toutes les permutations que nous avons obtenues sont distinctes , car deux quelconques

DES QUANTITES ALGÉBRIQUES. 237

d'entre elles diffèrent, soit par la place qu’y occupe la lettre s , soit par l’ordre des autres lettres ; donc enfin

P» = nP»-! [33. *

Ainsi, en faisant successivement n — 3, = 4, =5,. , dans cette formule, on trouvera

Pj=3Pj = 3 . 2;

Pj = 5P» = 5 . 4 . 3 . 2 ;

etc.-j

pour expression du nombre des permutations d’un produit de 3', de 4, de 5.... facteurs.

Mais , pour obtenir la formule générale demandée , on remplacera n successivement par (n — 1), (n — 2), ...4, 3 dans l’équation [3], ce qui donnera

- k =4PS,

En multipliant toutes Ces équations membre A membre et avec l’équation [3], omettant le facteur PB,P.t...P»P, commun aux deux membres de l’équation-produit , et en remplaçant P2 par *2.1, on trouvera

Ainsi, pour trouver le nombre des permutations d’un produit, multipliez entre eux tous les nombres entiers depuis 1 jusqu’à celui qui indique combien il y a de facteurs dans ce produit.