On appelle combinaisons tous les groupes que l’on ob
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tient en disposant les uns à la suite des autres et dans tous les ordres possibles 2 à 2,3 «3, 4 à 4,... vn nombre déterminé d'objets, de manière que le même objet n’entre qu'une fois dans chaque groupe et que deux quelconques de ces groupes diffèrent au moins par un des objets qui s’ij trouvent. Tels sont tous les produits différents que l’on obtient en multipliant, par exemple, 4 facteurs 3 à 3.
323. Problème 111. Combien peut-on former de combinaisons avec m lettres prises n « n ?
Supposons que l’on ait formé toutes les combinaisons n à n de nos m lettres, et désignons-en le nombre par C„. Si l'on veut obtenir tous les arrangemenls «an que peuvent fournir ces m lettres, il suffira d'effectuer sur chaque combinaison toutes les permutations dont elle est susceptible ; car, si l’on prétendait que l’arrangement de « lettres abc...rs n’a pas été obtenu, on observerait que le produit dont les facteurs sont n, b, c,...r, s se trouve nécessairement parmi ceux dont C„ désigne le nombre; et comme on a fait subir à chacun de ces produits toutes les permutations qu’il peut admettre, il faut en conclure que l’arrangement abc...rs a été formé.
Cela posé, puisque chaque produit de n facteurs admet I'„ permutations, les C„ produits de n facteurs chacun, fourniront donc C„ fois P„ permutations ; donc
A„ = P„.C„, d’où C„=^ t5], •
formule qui nous apprend que pour calculer te nombre des combinaisons n à n que l’en peut obtenir avec m lettres, il faut diviser le nombre des arrangements dont ces m lettres sont susceptibles n à n , par le nombre des permutations qu’on peut formtr avec n lettres. . .
Si, dans la formule [5] , on remplace A. et P. par leurs valeurs données par les formules [2] et [4], il viendra
r m<m— 1)(«— (n— l)j rc1 L — 1 .2 . 3 ... » L
Telle est la formule qui résout le problème.
DES QUANTITÉS Ài.GKBMQtJES. 239
Pour faire usage de cette formule, on observera que les facteurs du numérateur formant une progression par différence dont la raison est l’unité, il suffira, pour écrire ce numérateur, de former son dernier facteur \m — (» — I)j; D’ailleurs il y a autant de facteurs au dénominateur qu’au numérateur. Veut-on le nombre des combinaison s de m lettres 2 à 2, ou 3 à 3, ou 4 à 4,... on fera n=2 , ou =3, ou = 4 ,... ce qui donnera \m — (n — l)J = »i — 1, ou=«i — 2, ou = m — 3,... et par conséquent
etc.
Si , dans la formule [5] , on remplace A„ et P* par leurs valeurs données par les formules [1] et [3] , on trouvera
mais, en vertu de la formule [5] , est égal à C„-, , donc
formule qui donne le nombre des combinaisons de ni lettres n à n en fonction du nombre des combinaisons de ces ni lettres (n — 1) à (n — l). Ainsi , en observant que Ci = m, ce qui est évident , on pourra déduire successivement de la formule [7], les valeurs que nous avons trouvées plus haut pour C», Cj, C», etc. '
524. Lorsque le nombre n des lettres qui entrent dans chaque combinaison- surpasse la moitié de m, au lieu de calculer le nombre des combinaisons des m lettres n du, on cherche celui de leurs combinaisons (m — n) à (m — n), parce que ces deux
jt
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nombres sont égaux. Ainsi, veut-on savoir combien on peut • former de combinaisons avec 10 quantités prises 8 à 8, on cherchera le nombre de leurs combinaisons 2 à 2 , et on trouvera
= 45. En faisant m = 10 et n = 8 dans la formule [6], on
aurait eu
Pour démontrer que le nombre des combinaisons de m lettres n à n est le même que celui de leurs combinaisons m — n à m — n, nous observerons que si l’on divise le produit des m lettres successivement par toutes les combinaisons n à n , les quotieqts que l’on obtiendra seront toutes les combinaisons m — n à m — n que l’on peut faire avec ces m lettres ; car, si l’on nie que abc...pqr...uv étant le produit de ces tn lettres, la combinaison qr...uv, par exemple, ait été formée, on répondra qu’en divisant abc...pqr.,.uv par abc..p, combinaison de n lettres, on obtiendra qr...uv ; or cette division a été faite : donc le nombre des combinaisons de m lettres m — n à m — n est égal à celui de leurs combinaisons n à n.
328, La méthode qui nous a conduit à la formule [5] entraînerait dans de très-grandes longueurs, si on voulait l’employer pour former toutes les combinaisons de ni lettres n à n. On pourra résoudre cette question de la manière suivante.
Supposons que l’on ajt formé toutes les combinaisons dont nos m lettres sont susceptibles (n — 1) à (» — 1) , et que , dans chacune, on ait rangé les lettres qui y entrent suivant l’ordre alphabétique. Si l’on écrit maintenant, à la suite de chacune de ces combinaisons, successivement toutes les lettres qui suivent la dernière de cette combinaison, je dis que l’on obtiendra toutes les combinaisons de nos m lettres » à n. Car soit cde...rs un produit de n facteurs que l'on prétende n’avoir pas été formé ; on voit, d'après ce qui précède, que le produit cde...r a été fait; donc cde...rs l'a été aussi; déplus, la même combinaison ne se trouve pas répétée deux fois, puisque, dans chacune, les lettres se succèdent dans l’ordre alphabétique.
DES UIAAIUES ALliÉBKJylES. 241
380. Exemple. Former toutes les combinaisons 4 à 4 des 5 lettres a, I), c, d, e.
Combinaisons 1 à 1... «, b, c, d, e,
2 à 2... ub, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de. ■
3 à 3... abc, abd, abe, acd, ace, ade, bed, bve,
* * bde, cde*.
4 à 4. .. abcd, abce, abde, aede, bede**.
* 327. Le nombre des combinaisons » à n que l’on peut obtenir avec m lettres étant nécessairement entier, on doit en conclure que le second membre de la formule [6] est un pareil nombre. On peut toutefois se proposer d’établir directement cette propriété, indépendamment de la théorie des combinaisons. Pour y parvenir, je multiplie les deux termes du deuxième membre de l’équation [6] par 1.2.3... {m— n) ; de celte manière, le numérateur deviendra le produit de la suite naturelle de tous les nombres entiers depuis 1 jusqu’à m, de sorte que si l’on représente par p la différence (m — n), on aura
m(m— 1) [m— — (n — l)j^ 1.2.3 . . . vi ;
