PUISSANCES ET KACINES

D’où l’on voit que la plus haute puissance de a qui divise

1.2.3.. .»», est le produit de a"’ par la plus haute puissance de a qui divise 1.2.3...m'. Mais, par la même raison , celle-ci est le

.produit de am" par la plus haute puissance de a qui soit renfermée dans 1.2.3 ...m", si on appelle ni' la partie entière du quotient de ni par a; cette dernière sera semblablement le produit de a“" par la plus haute puissance de a qui divise

1.2.3. . ..m*, en désignant parm" la partie entière du quotient de m“ par a : et on continuera ainsi jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un quotient <a. Supposons donc, pour fixer les idées, que »»"soit ce quotient <. a; le produit 1.2.3...»»" ne sera pas divisible par « , et par conséquent la plus haute puissance de « qui divise 1.2.3...»» sera

D’après cela, si on nomme ri, n*, n",... et p\ p", p",... les quotients que l’on trouve en divisant, d’une part, « par n, puis n' par a, ensuite n" par a...; d’une autre part, p par a , puisp' par a , ensuite p" par a...; les plus h uites puissances de a qui divisent respectivement 1 .2 3.. .net 1 .2. 3. ..p seront •• •

et ap'+»'+p»+.... sorte qUe ja p|us haute puissance de a contenue dans le produit 1 . 2. 3 . . . n X 1.2 . 3 . . . p est a«i+»i/+,»4....4^i+p"+p«’+...< Mais de l’égalité m=n-\-p, on lire

et par suite m' = ou > n' -f- p', m" = ou >n'-fp",

»n" = ou>n*-f p”, . .

donc . ..=ou>n,-fn*’-fn"-f. . .4-p'-t-p"-fp"-}-. . .

Donc le numérateur 1.2.3 ..moontient le facteur premier a du dénominateur 1.2.3.. .nxi.2.3...p à une puissance au moins aussi élevée que celle où il entre dans ce dénominateur ; donc l’expression [8] est entière.

DK» QUANTITÉS ALGEBRIQUES.

Wt ^ jr "’**•

g VI. BINOME DE NEWTON.

31113. Le moyen qui se présente naturellement à l’esprit, pour élever un polynôme à une puissance entière et positive, con-> siste à faire le produit d'autant de facteurs égaux à ce polynôme qu’il y a d’unités dansl’exporant de cette puissance : mais ce procédé, déjà très-long par lui-méme, a l'inconvénient d’exiger qu'on recommence toujours le même calcul pour chaque cas particulier que l'on veut Lraiter. Newton a trouvé, mais sans en donner la démonstration, une formulegénérale pour élever directement un binôme à telle puissance que l’on veut, sans passer par les puissances inférieures, et on en déduit facilement le moyen de former la même puissance de tout polynôme donné.

Parmi un grand nombre de démonstrations que l’on a données de la formule du binôme de Newton , la suivante , fondée sur la théorie des combinaisons, est la plus élémentaire.

3129. Le moyen qui parait le plus naturel, pour obtenir cette formule, est de former les premières puissances d'un binôme ( w -fa) par des multiplications successives, et de chercher à saisir la loi qui régit les exposants de x et de a dans les développements de ces puissances , ainsi que celle des coefficients numériques des différents termes de chacune. Élevons donc successivement le binôme (x-j -a) à la r*, à la 2*, à la 3*,... puissance, et nous trouverons

(x -f a)1 = x -fa,

(x -f a)* = x1 -f 2ax -f a\* . .

.• (x-f a)* = x*-f 3ax* -f3a’x -fa3,

(x -f a)‘ = x* -f Aux* -f 6a’x’ -féa’x-fa*,

(x -f a)* = x* -f 5aa^ -f 10a*x* -f 10a3x* -f 5a* x -f a*, ' etc. . .x i> -•

En considérant attentivement ce tableau, nous remarquerons que le premier terme de chaque dèvetoppeinpnt est x élevé à la même puissance que le binôme proposé ; que cet exposant diminue d'une unité, en allant d’un terme au suivant , jusqu’au dernier

244 ' MJISSAMIES El HACHES

où il est zéro (80, 1") ; g veies exposants des suivent lu loi inverse, de sorte que la somme des exposants de \ et de a dans chaque terme est égale à l'exposant de la puissance demandée. Cette loi est générale, car, dans le passage d’une puissance à la suivante, la multiplication par ( x -J- a) ne fait qu’augmenter d’une unité les exposants de x et de a dans chaque terme. Ainsi nous pouvons écrire immédiatement la partie algébrique des termes qui doivent entrer dans le développement demandé.

Voyons si nous serons aussi heureux dans la recherche de la loi que suivent les coefficients. Nous reconnaissons, à l’inspection de notre tableau , que le coefficient du premier terme est l'unité ; que celui du deuxième terme est égal à f exposan t de la puissance; mais pour les termes suivants, nous ne pouvons rien découvrir, sinon que les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux. Or, il résulte du procédé de la multiplication algébrique , que ces coefficients numériques naissant des réductions qui se font entre les termes semblables du produit, si on multiplie entre eux m facteurs binômes (x-|-fl), (x-\- b), (x + r),... (x -|- k), qui ont tous le même premier terme x et des seconds termes différents, tous les termes du résultat seront dissemblables ; que , par conséquent , il n’y aura pas de coefficients numériques, de sorte que l’on pourra espérer de découvrir la loi qui régira les termes de ce produit. Cette loi reconnue, U suffira de supposer que les seconds termes de nos binômes deviennent tous égaux à a, et elle deviendra celle que doivent suivre les termes du développement de la m“" puissance du binôme (x -(- a).

330. Tâchons donc de découvrir quelle est la forme du produ i t des m facteurs (x -f a), (x -f- b), (x c), . . . (x -(- k) . On voi t d’abord que l’on obtiendra un terme quelconque de ce produit, en prenant un terme dans chaque facteur et en multipliant tous ces termes entre eux; d’où il suit 1° que deux termes de notre produit seront x" et abc...k\ 2° qu’il renfermera en outre toutes les puissances de x moindres que la car, si l’on multiplie les premiers termes de (« — n) de nos binômes par les seconds

termes des n autres, on aura un terme du produit , qui contiendra xa~". En conséquence , si on ordonne ce produit par rapport aux puissances descendantes de x, le coefficient de xm~n sera la somme de tous les produits différents que l’on • peut obtenir, en multipliant n à n tous les seconds termes de nos binômes*; d’ailleurs ce terme, où x a l’exposant (m — w), en aura n avant lui , puisque les exposants de x décroissent d’une unité, à partir du premier terme où cette lettre entre à la puissance m. On voit donc

1° Que, dans le premier terme du développement , x a un exposant égal au nombre des binômes que l'on a multipliés ;

2° Que l’exposant de x diminue d'une unité dans le passage d'un terme au suivant , jusqu’au dernier terme oit il est zéro ; . |yfÿ . • •

3° Que le coefficient du premier terme est l’unité; que celui <Tun terme quelconque est égal à la somme des produits différents . que l’on obtient en multipliant les seconds termes des binômes pris en nombre marque par le nombre des termes qui précèdent celui que l’on considère , de sorte que le coefficient du deuxième » terme est la somme des deuxièmes termes des binômes , que celui du troisième est la somme de leurs produits distincts 2 à 2, et ainsi de suite ; enfin que le coefficient du dernier terme est le produit de tous les seconds termes des facteurs binômes.

D’après cela, si l’on convient do représenter, en générai, par S„ la somme des combinaisons n à n des m quantités a, b, c,,../r, on aura • 1 ' ' ' .

(x-{-a)(x-\-b)(x-l-e!)...(x+&)==xm-f...+Smxm-',+...+abcr./k[9].

En faisant successivement » = 1 , =2, =3,.., = (;«— 1), on

* Si l’on prétendait qu’une de ces combinaisons ne tait point partie de ce coefficient, on réfuterait celte objection, en disant que, si l’on multiplie les seconds termes des n binômes où sé trouvent les lettres qui entrent dans celle combinaison par les premiers termes de tous les autres binômes, on aura certainement un terme du produit, lequel terme est formé de la combinaison dont il s’agit multipliée par x--*.

PUISSANCES ET RACINES

déduira de tous les termes qui sont compris entre le

premier xm et le dernier abc... h.

*331. Cette égalité étant indépendante des valeurs particulières des quantités a, b, c...k , on pourra y supposer toutes ces quantités égales entre elles, ce qui réduira le premier membre à (.r-J-a)’*. Quant au second membre, le terme xm ne changera pas, et le dernier deviendra a". S„ étant la somme des combinaisons n à n des m quantités a, b, ç...k , et chacune de ces combinaisons devenant a", lorsqu’on suppose a=b=c=...=k, S„ sera alors égale à a" répété autant de fois que l'on peut former de combinaisons avec m lettres prises n à n; donc on aura (323)

c m(m— l)(m— 2)...fm— (n— l)|n

et par conséquent la formule du binôme de Newton sera

dans laquelle il faudra donner à n les valeurs successives 1 , 2, 3 — 1), pour obtenir tous les termes compris entre le premier xm et le dernier a*.

, 332. Si l’on désigne par T,*., le terme du rang n-f-1 , c’està-dire celui qui en a n avant lui, on aura

rn(m— l)(m — 2)... jm — (n— 1))

a-ar— * [11],

1.2 .3 . . . n et celte formule est appelée le terme général du développement de (x -}- a)m , parce qu’elle fait connaître tous les termes de ce développement, à partir du. second, en y faisant successivement n— 1 , =2, =3,... = m. Elle a, comme on voit, l’avantage de fournir chaque termè de la m°" puissance de (x-f-a), indépendamment des autres. Ainsi , si l’on a besoin de connaître le sixième terme, on observera que, ce terme en ayant 5 avant lui, il faudra faire n = 5 , ce qui donnera •

DBS QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 247

353. Si, dans la formule [11] , on change n en n -f- 1 , elle deviendra

t l)(m— 2)...)w-(w-l)|fw-n)

En comparant cette valeur de T.+l à celle de T^,, et en observant que le terme T^i est le (n -f- 1)“* du développement, on en conclura que pour déduire un terme quelconque du précédent, il faut multiplier celui-ci par l’exposant dont a y est affectée , diviser le produit par le nombre qui marque le rang de ce terme , augmenter l'exposant de a d'une unité et diminuer d'autant celui de x. On pourra donc énoncer de la manière suivante la règle qu il faut suivre pour élever un binôme à une certaine puissance :

Pour élever un binôme (x-|-a) à une puissance donnée, élevez le premier terme de ce binôme à cette puissance et vous aurez le premier terme du développement ; pour fonner un terme quelconque de cette puissance , multipliez le terme précédent par l'exposant dont x y est affectée, et divisez te produit par le nombre qui marque le rang de ce terme, puis augmentez d'une unité l'exposant de a et diminuez d’autant celui de x.

On comprend qu’au moyen de cette règle, on pourra d’abord fbrmer le premier terme; puis en déduire le second; & l’aide de celui-ci obtenir le troisième, et ainsi de suite.

Le développement de (ar-f-o)* se terminera nécessairement, puisque dans le (m-j-1)"" terme , x aura l’exposant zéro, et que par conséquent le terme suivant sera nul.

En appliquant la règle précédente, on trouvera

(x +a)m =ae~ + j aar~x -y ■ - aV“*

+T.7ymy)a^+-^

et on voit que le coefficient numérique d’un terme queleonque est le nombre des combinaisons que l’on peut faire avec m lettres prises en nombre marqué par le nombre des termes qui

PUISSANCES Et RACINES

précèdent celui que l’on considère, ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu au n° 351.