Dans la pratique , on emploie la règle que nous venons

de donner, seulement pour calculer les coefficients des ^ -f 1 ^

ou des — premiers termes du développement, selon que m

est pair ou impair, parce que ceux des autres seront connus par cela même, puisque les coefficients des termes éqvidistants des extrêmes sont égaux. Comme ce principe n’a été établi que par induction (329), nous allons Ie démontrer complètement.

1” Démonstration. Le terme qui en a n après lui est le (n-f-l),n,l en comptant de la droite vers la gauche, et , comme le nombre total des termes du développement est ( m -|- l) , on voit qu’il en a (m-f-1) — (n-(- 1) = »i — n avant lui , de sorte que son coefficient est égal au nombre des combinaisons que l'on peut faire avec m lettres prises (/« — n) à (/« — n) ; mais ce nombre est égal à celui des combinaisons de m lettres n a n (324), lequel nombre est le coefficient du terme qui en a n avant lui ; donc , etc.

' ,2* Démonstration. Soit ka"xm-n le terme qui , dans le développement de (x-j-n)", en a n avant lui : je remarque que la quantité {x-\-a)n ne changeant pas, lorsqu’on y permute x et a, son développement ne devra pas non plus être altéré par cette permutation des deux lettres x et a, et que par conséquent, puisqu’il contient le terme kanxm-n, il renfermera aussi le terme .Ax’V"-*. Or, ce terme en a ( m — n) avant lui, puisque l’exposant de a dans un terme quelconque est égal au nombre des termes qui le précèdent ; donc le terme est le

(m — et comme le nombre total des termes du développement de (x-j-a)" est(w»-f-l), on voit qu’il en a (m-j-1) — ( m — n-4-l) = » après lui; donc les deux termes Aa“xm~’‘ et te*a*~* sont également distants des deux extrêmes.

535. Si le second terme du binôme est négatif, il n’y aura de différence, dans la formule , qu’en ce que lès termes seront

allernativement positifs et négatifs , puisque a a un exposant pair dans tous les termes de rang impair et un exposant impair dans tous les termes de rang pair. Ainsi

(x — af'—x"' — wax*1-1-)- ™ ^ a'x"-’

[Hl.

Exemple. Élever le binôme (x — a) à la sixième puissance. On devra calculer directement les quatre premiers termes du développement, et en négligeant les signes, on trouvera

b.ôxV5