jV

:20xV

donc

(x — a)‘=x* — Gax5-}- 15a’x* — 20a,x*-(- 1 5 a‘x* — 6asx-j-a* .

336. Si on voulait former le développement de la wu** puissance d’un binôme quelconque, par exemple, de 2ax* — 36*c, il faudrait d’abord élever(x-)-o)àcette puissance, puis remplacer dans le développement x par 2ax* et b par — 36V. Mais les calculs effectués de cette manière seraient encore assez longs. On les abrège en donnant à la formule du binôme une forme qui en facilite beaucoup l’application^ Il su ffit, pour cela, de mettre x* en facteur commun de tous les termes du développement de (x-j-a)“, ce qui donnera

(x+a)"=x" jl-fwi . m.

, m — 1 m — 2 fa\%

Cette formule nous apprend’ que , pour obtenir la m“* puissance d’un binôme quelconque, il faut former d’abord la suite des nombres ,

ainsi que le rapport du second terme du binôme au premier, puis on écrira un polynôme , dont le premier terme sera f unité ; le se-

PUISSANCES 1T BAC1NIS

cond terme se formera en multipliant ce premier terme par le premier nombre m et par le rapport du second terme du binôme au premier; le troisième, en multipliant ce second terme par le

second nombre — et encore parle rapport du second terme du * «

binôme au premier, et ainsi des autres. On multipliera enfin le polynôme ainsi obtenu par la m"” puissance du premier terme du binôme , et on aura le développement demandé.

557. Exemple. Développer la sixième puissance du binôme 2 oæ* — 36V. On écrira la suite des nombres

et le rapport du second terme du binôme au premier étant 36V iax*’

— ;rr-3, on aura

‘(2 ax*)K '\2ax,)t ' (2a®*/

ou, en effectuant les calculs,

(2ox'— 36V),=64a,05,‘— 576a!6,cx“-f2160o‘6W— 4320a,6VjJI -f 4860aW;c‘— 2916n6,V5V+7296”c*. .

558. Si, dansles formules [10] et [12], on suppose a;=a= 1, on verra que tous les termes des seconds membres se réduiront à leurs coefficients, mais que le premier membre de la première deviendra 2", tandis que celui de la seconde s'anéantira. On voit donc que la somme des coefficients de tous les termes d’une puissance quelconque d'un binôme est égale à la puissance même degré de 2 , et que la somme des coefficients des termes de rang pair est égale à celle des coefficients des termes de rang impair.

559. La démonstration que nous avons donnée de la formule du binôme de Newton suppose essentiellement que l’exposant»/»

DBS QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. . 261

de cette puissance est un nombre entier et positif, puisque nous avons obtenu celte formule en supposant, dans le développement do produit des m binômes (x-fa), (x-fô). (x-|-c),....(x-|-A), que tous les seconds termes de ces binômes devenaient égaux. Cependant cette formule est encore vraie, quelle que soit la nature de l'exposant m, mais la démonstration rigoureuse, pour ce cas général, sort des éléments. Ainsi, on aura

(x + 0)-' =x-‘4-(— 1 )axr* -f a**-*

ou bien

On trouvera de même que : . '

ou bien

« » 2 -- 5 -- dO

(x + fl) '=x -ax — g]»** ' + ...

540. La formule de Newton nous permet de compléter ici une théorie que nous. n'avons pu exposer dans nos Leçons d’arithmétique , que pour des cas très-particulière : nous voulons parler de l'extraction de la racine himt des nombres. 11 suit, en effet, de celte formule, que si l'on représente par x les dizaines d’un nombre et par a ses unités, la m”' puissance de ce nombre se composera de la m" puissance des dizaines de ce nombre, plus de m fois le produit de la (m — IJ**» puissance de ses dizaines multipliée par ses unités, plus d’une suite d'autres termes. Cela posé, en remplaçant, dans la théorie que nous avons donnée de la racine cubique des nombres, les expressions de cube et de racine cubique par celles de m" puissance et de racine m”% et le nombre 3 par le nombre m, partout où il sera

PUISSANCES ET RACINES

question du degré de la racine demandée , on trouvera la méthode qu’il faut suivre pour extraire la racine »»" d'un nombre.