VII PUISSANCES DES POLYNOMES

341. Le développement (le la mmt puissance d’un poiyoome quelconque « -f-ô + c-j-d-j-e -f- ... se déduit facilement de la règle que nous avons donnée pour former la »»“• puissance d’un binôme; car, si on représente par a la somme ô-f-c-fd-j-c-j-... de tous les termes qui suivent le premier, on sera ramené à développer (a -t-»)", et on trouvera un polynôme qui procédera suivant les puissances ascendantes de a, c’est-à-dire suivant les puissances ascendantes d’un polynôme qui a un terme de moins que le polynôme proposé. .Eu désignant de même par p la somme e-j-dq-e-}-... de tous les termes qui suivent le premier terme de a, on fera dépendre la formation des 2% 3', 4',... »** puissances de « des puissances du même degré de 8, c’est-à-dire d’un polynôme contenant deux termes de moins que le polynôme proposé, de sorte qu’en continuant ainsi, on finira par n’avoir plus à former que les puissances successives d’un binôme, ce qui n’offre aucune difficulté.

Exemple. Former le cube de (a-f- b c -f- d).

a = ô — }—<?—] — 6? , (a-f-5-(-c-j-d),=(a-j-a)*=a,-(-3a,«-f-3fla,-f-«s i

P = C-f-d, a = ô-fp, a* = 6,+ 25p-f81;

a5= ié-l-Sà’P -f- 36p* -(- p’ ;

p’=c*+2cd -f d\ p*=c» + 3c*d -|- 3cd*-f d1 ;

a«= è,-}-c*-|-d,4-2(5c + bd + cd) ;

a*=5>-|-e*4-d*H-3(6,c + &‘d+ 6c* + àd'+c'd-fcd*) -\-6bcd;

(a-fô-ff4-d),=as-fà*-fcs-f-d,4-3((i'64-o,c-fa,£/-l-6*c-|-à,d-|-c,d -f rd,-f-oà’-f-ûe,-|-rtd,-)-àe’-f-àd,)-|-6(a6e-f-aW-f-acd4-àfd).

*342. Proposons-nous de trouver l’expression du terme gé-

néral du développement do la mm ■ puissance d’un polynôme;

DUS OUANTITKS AI-GSBRIQl'KS.

mais auparavant donnons une autre forme à l’expression que nous avons obtenue précédemment (3514) pour T„+1. Nous multiplierons les deux termes de cette formule par 1.2.3... (»i — n), de sorte que le numérateur deviendra le produit de tous les nombres entiers depuis 1 jusqu’à m ; ce qui donnera