Soit proposé maintenant d’extraire la racine cubique
PUISSANCES ET BACINES
d’un polynôme. Nous l'ordonnerons par rapport aux puissances d’une même lettre, et nous concevrons que la racine cubique demandée soit ordonnée de la même manière. En vertu du premier principe, le premier terme du polynôme est sans réduction le cube du premier terme de cette racine, de sorte que nous obtiendrons ce premier terme en extrayant la racine cubique du premier terme du polynôme. Je l’appelle a. En vertu du deuxième principe, si du polynôme on retranche le cube du premier terme de la racine, le premier terme du reste, c'est-àdire le deuxième terme du polynôme , sera sans réduction le produit du triple du carré du premier terme de la racine par son deuxième terme, et par conséquent on trouvera ce deuxième terme, que je désignerai par b, en divisant le deuxième terme du polynôme par le triple du carré du premier terme de la racine. En vertu du second principe , si du polynôme donné on soustrait le cube de la somme des deux premiers termes de la racine, le premier terme du reste sera sans réduction le produit du triple du carré du premier terme de la racine par son troi- * sième terme : donc en le divisant par ce triple carré , on aura ce troisième terme. Mais nous observerons que , comme on a déjà retranché du polynôme proposé le cube as du premier terme a de la racine, pour en soustraire le cube de la somme (o-f-6) des deux premiers termes, il suffira de retrancher 3o'6-(-3aé,-|-6, du premier reste. Or cette quantité revient à (3a’+3ri<»-f-6*j6, ou encore à |3a*-fr(3«-H»)6i6,- de sorte que, pour la former, on ajoutera b au triple de a, on multipliera la somme par b; on ajoutera le produit à 3a’, et on multipliera la somme par b; donc en soustrayant ce dernier produit du premier reste, et en divisant le premier ternie du deuxième reste par 3o’, on obtiendra le troisième terme e de la racine. Pour trouver maintenant le quatrième terme , on devra retrancher du polynôme le cube de la somme (o -)- b -j- c) des trois premiers termes de la racine et diviser le premier terme du reste par 3o* ; mais je remarque que (o-j-è-)-c),=(a-|-é),Tj-3(a-|-6),c-|-3(a-|-è)c,-j-cs, et que, comme on a déjà retranché (a -f- b? du polynôme, il suf-
fira de soustraire du reste correspondant 3(a -f- b)*c -)- 3(« -f- b)cl + c*. Or cette quantité revient à |3(a -f- + 3(a -f- b)c -{- c’Jc
= |3(<* + &)‘ + [3(a + 6) -J- c]e\c. Pour l'obtenir , je forme d’abord 3(a + b)*, et comme nous avons calculé tout à l'heure, d’une part (3a-j-6jé=3«6-)-6\ d’une autre part3a’-j-(3a-|-6)ô =3a,-{-3a6-J-6’, on voit qu’en ajoutant b * avec ces deux quantités, nous aurons 3a,-j-6a6 + 36s==3(o + i)J. Cela fait, on ajoutera c au triple de (a on multipliera la somme par b, on ajoutera le produit à 3(a-|-6)1, ce qui donnera 3(a-f-6;‘ -f- Sta-f-ôjc-j-c’i on multipliera cette somme par c, et on trouvera 3{a -(- bfc -j- 3(a + é)c* -j- c5. On soustraira donc ce produit du deuxième reste, et en divisant le premier terme du troisième reste par 3«’, on aura le quatrième terme d de la racine, et ainsi de suite. On disposera d’ailleurs les calculs
comme ou le voit ci-dessous Polynôme proposé.
Arillun ., 224) :
a-\-b-\-c-\-d-\- racine
Premier reste.
— Wb—ZaP — b1
3 ab+b1 \
Deuxième reste.
Troisième reste.
etc.
etc.
Si le polynôme proposé est un cube parfait, son dernier terme sera le cube du dernier terme de sa racine , de sorte que le dernier ternie de cette racine sera la racine cubique du dernier terme de ce polynôme. On arrêtera donc la série des calculs que nous venons de développer , lorsqu’on sera parvenu à un reste nul , auquel eus le polynôme trouvé sera évidemment la racine demandée, ou à un reste tel qu en divisant son premier terme par le triple du carré du premier terme de ce polynôme trouvé, on serait conduit à écrire à la racine un terme dans lequel l'exposant de la lettre ordonnatrice serait plus petit ou plus grand que le tiers de celui qu’à cette lettre dans le dernier terme du polynôme
PUISSANCES ET RACINES
proposé , selon qu'on l’aura ordonné suivant les puissances descendantes ou ascendantes d'une même lettre. On sera sûr alors que le polynôme n’est pas un cube parfait.
554. Théorème. La racine cubique de toute quantité A admet trois valeurs que l’on obtient en multipliant , par les trois racines cubiques de l’unité , la détbrmination arithmétique a de la racine cubique de A , c’est-à-dire la quantité obtenue en extrayant la racine cubique de A par la méthode donnée en arithmétique , si A est un nombre , ou par les procédés indiqués aux »« 205 et 555, Çi A est une quantité algébrique.
Nous pourrons poser, en effet, ^A=ay, pourvu que le cube de ay soit égal à A ; ainsi on aura ' *
a?y‘=± A, d’où y*-*— 1 =0,
puisque a étant la détermination arithmétique de la racine cubique de A, on a a’= A. Ainsi on obtiendra toutes les valeurs de v A en multipliant a successivement par chacune des racines de l’équation y* — 1 =0 , lesquelles sont évidemment les racines cubiques de l’unité, puisque leurs cubes doivent être égaux à l’unité (127). Résolvons donc cette équation. Son premier membre est divisible par (y — I), et revient (72) ainsi à (y — l)(y’ + y + 0 = 0; donc pour que ys— 1 soit nul , il faut et il suffit (292) que l’on ait
y— 1=0, d’où y = l,
ou y*+y + i=°, d’où y= — — -•
Ainsi la racine cubique de l’unité admet trois valeurs dont l’une est réelle, et dont les-deux autres sont imaginaires. Par conséquent , après avoir trouvé la détermination arithmétique a de la lacine cubique d’une quantité donnée A , il faudra encore multiplier cette détermination arithmétique par 1,, par
— l-fv— 3 l-fyCTâ .
5 et par — , pour obtenir toutes les valeurs de cette racinè eubique.
DIS QUANTITÉS ALGKBHIQUKS.
533. Remarquons que si i’on forme le carré de l’une de ces Aïeux valeurs imaginaires, on retrouvera l'autre; ainsi
l— 2y/=3— 3 — 2— 2v/=3 l-fV=3
de sorte qu’en représentant l’une d’elles par a , l’autre le sera par a*, et qu’on aura en conséquence
y A. — a, = a«, = ai‘.
336. 11 suit de ce' qui précède que, si l'on n’a trouvé qu'une ' seule valeur en appliquant la méthode du n° 333, c'est que l'on n’a pris pour valeur du premier terme de la raciûe que la détermination arithmétique de la racine cubique du premier terme du polynôme, tandis que l'on aurait dit prendre ses trois valeurs a, a*, a»\
En opérant de cette manière , on aurait obtenu .
fl -f- 6+ c -K*.»- & -|-c a, (fl+ô -f- c
En effet, quoique le premier terme de la racine ait les trois valeurs a, aa, «a*, son cube n’en a qu’une seule, et par conséquent le premier reste n’a qu’une seule valeur. Le triple du carré du premier terme aura les trois valeurs 3a*, 3 nV, 3aV=^3a,a.<x’=3a,c<, car « étant une racine cubique de l’imité, as --= 1. Or, en divisant le premierterme du reste par 3 a’, on a trouvé b ; donc en le divisant par 3aV et par 3a’a, on trouvera'
-, = —, = b* et - = ~ = 6a* ; donc le deuxième terme a pour
a* or a or r
valeurs b, ba , 6a’, etc.
337. Exemple. Extraire la racine cubique de 8x* — 36ax6 102aV — 171aV -f 204alx’ — l44asx -f- 64a6.
— 36ax'4-102a*ï'— moV42ata‘x*— 14ta\r4-G4a£
2xJ— 30x4-40’
+360**— 27 oV r
— 48i. j'-t-UAaV— 204a'x34-144a4x--G4a*
— I8ax'-f-9a>x ^
I2x* — I8ax34-8a,x1 1 -f-OaU1)
I2x'— 3ünx'-f21a’x* C
